Олимпиада «Шаг в будущее»

Решите неравенство: \[ \sqrt{18x-1}-\sqrt{4x^2+11x-3}\geqslant 4x^2-7x-2. \]

В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=5:4$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 12.

Группе путешественников, состоящей из Наташи, Юрия, Игоря Константиновича и Татьяны Олеговны, необходимо преодолеть сложный горный участок повышенной опасности. По технике безопасности на этом участке пути нужно обязательно находиться в каске. Но на всю группу имеются только две каски. Если этот участок пути переходят два человека, то они идут со скоростью того, кто идёт медленнее. Известно, что Юрий преодолевает участок за 4 минуты, Наташа — за 8 минут, Игорь Константинович — за 18 минут и Татьяна Олеговна — за 24 минуты. За какое наименьшее время данная группа путешественников может преодолеть горный участок при данных условиях. Алгоритм перехода опишите. Ответ обоснуйте.

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ (x+1)\cdot(x+2)\cdot(x+8)\cdot(x+16)=ax^2 \] имеет ровно два различных решения.

Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Последовательность величин углов при вершинах $B$, $D$, $E$ в остроугольном треугольнике $BDE$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $C$ в треугольнике $ABC$.

На конкурсе проектов участвовало 12 команд. Жюри, в состав которого входили председатель и ещё $M$ человек, оценивали эти проекты и присуждали им места с 1 по 12 по своему усмотрению, но каждый по следующему принципу. Сначала проекту присуждал место председатель, а затем каждый из членов жюри мог присудить такое место этому проекту в своём списке, которое отличается от мест других членов и председателя не более чем на три. Победителем признаётся проект, у которого наименьшая сумма мест, поставленная каждым из членов жюри, включая председателя. Если наименьшая сумма мест у двух или более участников, то победитель определяется особым порядком. Известно, что победитель набрал наибольшую из возможных сумм — 23, а особый порядок присуждения первого места не понадобился. Чему равно $M$?