Олимпиада «Шаг в будущее»

Решите неравенство: \[ 3\sqrt{(2x-3)^2}+\sqrt[6]{\sqrt{x^3-x}+\sqrt[4]{x-x^2}-x^3+3x-2}\leqslant 9-6x. \]

Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его катетах $AC$ и $BC$ построены квадраты $ACDE$ и $BCFG$. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $DF$ в точке $N$. Найдите длину отрезка $CN$, если длины катетов равны 1 и 4.

Школьник Иванов проплывает на плоту путь между городами $A$ и $B$ за 15 часов. На моторной лодке вместе с папой он проплывает весь путь от $A$ до $B$ и обратно не менее чем за 8 часов. Точно такое же путешествие, но вместе с дедушкой (от $A$ до $B$ и обратно) занимает по времени не более 20 часов, при этом собственная скорость лодки при управлении дедушкой на $50\%$ меньше, чем у папы. Сколько часов школьник вместе с дедушкой плывут на моторной лодке от города $A$ до города $B$?

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left|\dfrac{x^2-2ax+a^2+1}{x-a}\right|+x^2-6x+7=0 \] имеет хотя бы одно решение?

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $M$, а стороны $AC$ — в точке $K$. На стороне $AB$ выбирается точка $N$ так, что отрезок $MK$ делит отрезок $CN$ пополам. Найдите длину отрезка $AN$, если $AB=8$, $AC=7$, $BC=6$.

Первый рабочий красит стандартный номер в гостинице за 1 день, а выкладывает плиткой ванную комнату за 5 дней. Второй рабочий красит стандартный номер в гостинице за 2 дня, а выкладывает плиткой ванную комнату за 8 дней. За какое минимальное количество дней они отремонтируют 30 стандартных номеров и 20 ванных комнат, если они начинают и заканчивают работать вдвоем одновременно.