Всероссийская олимпиада школьников по математике

Не используя калькулятора, определите знак числа \[(\cos(\cos 1)-\cos 1)\,(\sin(\sin 1)-\sin 1).\]

Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа $99!$ так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?

Существует ли тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=AC=AD=BC$, а суммы плоских углов при каждой из вершин $B$ и $C$ равны по $150^\circ$?

При каких значениях $x$ и $y$ верно равенство \[x^2+(1-y)^2+(x-y)^2=\frac{1}{3}\,?\]

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Окружности с центрами $A$ и $C$ проходят через точку $B$, вторично пересекаются в точке $F$ и пересекают описанную около треугольника $ABC$ окружность $\omega$ в точках $D$ и $E$. Отрезок $BF$ пересекает окружность $\omega$ в точке $O$. Докажите, что $O$ — центр описанной окружности треугольника $DEF$.

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр «01» заменять на набор цифр «1000». Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?