Всероссийская олимпиада школьников по математике

Внутри круга нарисовано 16 радиусов этого круга и 10 окружностей, центры которых совпадают с центром круга. На сколько областей радиусы и окружности делят круг?

Вдоль дороги в один ряд стоят 25 столбов. Иногда на один из столбов садится чиж, и сразу же с одного из соседних столбов взлетает чиж (если на соседних столбах в этот момент хоть кто-нибудь сидел). Также на каждом столбе не может сидеть более одного чижа.
Первоначально на столбах нет птиц. Какое наибольшее количество чижей могут одновременно находиться на столбах?

Натуральное число $n$ назовём интересным, если $2n$ является точным квадратом, а $15n$ — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число.

У Сени есть три прямых палки длиной 24 сантиметра каждая. Сеня разломил одну из них на две части так, что из двух кусков этой палки и двух целых палок он смог выложить контур прямоугольного треугольника. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь этого треугольника?

По зову воеводы пришли 55 солдат: лучники и мечники. Все они были одеты либо в золотые, либо в чёрные доспехи. Известно, что мечники говорят правду, когда носят чёрные доспехи и обманывают, когда носят золотые доспехи, а лучники — наоборот.

• На вопрос «На тебе золотые доспехи?» утвердительно ответили 44 человека.
• На вопрос «Ты лучник?» утвердительно ответили 33 человека.
• На вопрос «Сегодня понедельник?» утвердительно ответили 22 человека.

Сколько пришло лучников в золотых доспехах на зов воеводы?

Внутри куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен центр $O$ сферы радиуса 10. Сфера пересекает грань $AA_1D_1D$ по окружности радиуса 1, грань $A_1B_1C_1D_1$ по окружности радиуса 1, грань $CDD_1C_1$ по окружности радиуса 3. Найдите длину отрезка $OD_1$.

При каком наименьшем натуральном $x$ выражение \[\sqrt{29+\sqrt{x}}+\sqrt{29-\sqrt{x}}\] является целым?

Дана возрастающая последовательность из 8 действительных чисел. Диана выписала всевозможные последовательности из 4 чисел, идущих в ней подряд. Оказалось, что две из пяти новых последовательностей являются арифметическими прогрессиями с разностями 4 и 36 соответственно, а одна из последовательностей является геометрической прогрессией. Найдите наибольшее из данных 8 чисел. Укажите все возможные варианты.