Всероссийская олимпиада школьников по математике

В Матемляндии есть разные купюры: вамбики, кабодики и джамбики. Пять вамбиков равны трём кабодикам, а десять кабодиков — двум джамбикам. Сколько джамбиков равны 225 вамбикам?

Петя на клетчатой плоскости нарисовал по клеткам два прямоугольника. У одного из них стороны равны 3 и 10, а у другого стороны равны 5 и 6. Оказалось, что площадь их пересечения равна 12. Чему может быть равен периметр их объединения? Укажите все возможные варианты ответа.

Петя взял все натуральные числа от 1 до 2025, возвёл их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?

У Алексея, Бориса, Вити, Гены и Димы есть суммарно 300 монет. Они сделали следующие утверждения:

• Алексей: «Количество монет у меня хотя бы столько же, сколько и суммарно у остальных».
• Борис: «Количество монет у меня хотя бы половина от суммарного количества монет у остальных».
• Витя: «Количество монет у меня хотя бы треть от суммарного количества монет у остальных».
• Гена: «Количество монет у меня хотя бы четверть от суммарного количества монет у остальных».
• Дима: «Количество монет у меня хотя бы одна пятая от суммарного количества монет у остальных».

Известно, что один из них соврал, а остальные сказали правду.
а) Кто из них соврал?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у совравшего на самом деле?

Найдите количество путей длины 11 из $A$ в $B$ по сторонам нарисованных клеток, если каждая клетка является квадратом со стороной 1.

Двадцать прямых, никакие две из которых не параллельны, пересекаются в $N$ точках. В одной из точек пересекается сразу десять прямых, ещё в одной — пять, а во всех остальных только по две прямые. Чему может быть равно $N$? Укажите все возможные варианты ответа.

В ряд выписали дроби $\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots, \dfrac{1}{1000}$. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на $77^2$?

Царство гномов состоит из 20 кланов по 100 гномов. Каждый гном входит только в один клан. Гном считается высоким, если найдется хотя бы 10 кланов, не включая его собственный, средний рост в каждом из которых меньше, чем рост этого гнома. Какое наибольшее количество высоких гномов может быть в царстве?