Всероссийская олимпиада школьников по математике

На шоссе в указанном порядке расположены 5 городов: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Для каждого из них посчитали суммарное расстояние до всех остальных городов, получились числа на картинке.
а) Чему равно расстояние между городами $A$ и $E$?
б) Чему равно расстояние между городами $A$ и $B$?

На доске написано 432105. За одно действие разрешается либо поменять местами две соседние цифры в этой записи, либо заменить число, образованное двумя соседними цифрами, на число на 9 меньше, если оно неотрицательное. При этом в записи могут появиться нули в начале. Так, например, если бы на доске было написано число 2025, за первый ход можно было бы получить записи 0225, 2205, 2052, 1125, 2016.
а) Запись какого наименьшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
б) Запись какого наибольшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?

В треугольнике $ABC$ отметили точки $D$ и $E$ — середины $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы углов $CAB$ и $BED$, если $\angle ABC=56^\circ$. Ответ укажите в градусах. Напомним, что угол между прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении.

Дед Мороз раздал подарки 17 ребятам. Во всех подарках различное ненулевое количество конфет, а любые девять ребят получили больше конфет, чем оставшиеся восемь. Какое наименьшее количество конфет мог раздать Дед Мороз?

Целые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a^2+b^2c^2+c^2=2c(ab+1)$ и $a+b+c=800$. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты ответа.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На его стороне $AB$ отметили точку $X$ так, что угол $\angle ABC=4\angle ACX$. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Найдите длину отрезка $BX$, если известно, что $BC=53$, $BM=40$.

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, в которых расставлены числа, как на рисунке. За один ход можно выбрать одну из вершин сетки и увеличить числа во всех клетках с этой вершиной на 1. Лёша хочет сделать несколько ходов так, чтобы все числа оказались равны.
а) Какое число должно быть записано вместо знака вопроса, чтобы он смог этого добиться?
б) Какое наименьшее количество ходов ему понадобится?

Карточки с натуральными числами от 1 до 20 разбили на 2 группы по 10 карточек. Назовём пару чисел $n\lt m$ хорошей, если карточка с числом $n$ лежит в первой группе, а с числом $m$ — во второй. Оказалось, что хороших пар ровно 37. Чему может быть равна сумма чисел на карточках в первой группе? Укажите все возможные варианты ответа.