Простейшие задачи на треугольниках

В равнобедренном треугольнике $ABC$ к основанию $AC$ проведена биссектриса $BD$, равная 7 см. Найти периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $ABD$ равен 18 см.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ к основанию $AC$ проведена высота $BD$, равная 8 см. Найти периметр треугольника $BDC$, если периметр треугольника $ABC$ равен 38 см.

Одна из сторон равнобедренного треугольника на 3 см больше другой стороны. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 24 см. Рассмотреть оба варианта решения задачи.

Две стороны равнобедренного треугольника относятся как $3:4$. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 110 см. Рассмотреть оба варианта решения задачи.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на продолжении высоты $BM$ за точку $M$ выбрана (взята) точка $D$. Доказать, что $\triangle ACD$ — равнобедренный.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AC$, $\angle BMA=90^{\circ}$, $\angle ABC=40^{\circ}$, $\angle BAM=70^{\circ}$. Найти углы $MBC$ и $BCA$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $CE=AD$, $\angle BDC=110^{\circ}$. Найти угол $BEA$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ к боковой стороне $AB$ проведена медиана $CD$. Периметр треугольника $DBC$ больше периметра треугольника $ADC$ на 19 см. Найти стороны треугольника $ABC$, если его периметр равен 53 см.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ к боковой стороне $BC$ проведена медиана $AD$, равная 13 см. Найти стороны треугольника $ABC$, если периметры треугольников $ABD$ и $ADC$ равны 49 см и 30 см.

На основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $K$ так, что $BM=CK$. Докажите, что $AM=AK$.

В четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $A$ и $C$. Известно, что $AB=3$, $CD=5$. Найти стороны $BC$ и $AD$.

На окружности взяты точки $A$, $B$ и $C$ так, что $AB=BC$. Докажите, что биссектриса угла $ABC$ проходит через центр окружности.

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=3$, $BC=4$, $AC=6$. На $BC$ взята точка $M$ так, что $CM=1$. Прямая, проходящая через $M$ перпендикулярно биссектрисе угла $ACB$, пересекает $AC$ в точке $N$, а прямая, проходящая через $N$ перпендикулярно биссектрисе угла $BAC$, пересекает прямую $AB$ в точке $K$. Найти $BK$ и $AK$.

Докажите, что если у четырёхугольника все стороны и все углы равны, то его диагонали равны и перпендикулярны.

В треугольнике $ABC$ известны углы: $\angle BAC=52^{\circ}$, $\angle BCA=44^{\circ}$. Из вершины $B$ провели медиану и высоту и продолжили их за сторону $AC$ на расстояния, равные им. Получили точки $P$ и $K$. Найти угол $\angle PCK$.

На биссектрису $AL$ остроугольного треугольника $ABC$ опущен из вершины $B$ перпендикуляр $BH$, продолжение которого за точку $H$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ взята точка $S$. Доказать, что $\angle SBA=\angle LMC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=30^{\circ}$. Из вершины $B$ прямого угла на гипотенузу $AC$ опущен перпендикуляр $BH_1$. Из точки $H_1$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_1B_1$. Из точки $B_1$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_1H_2$. Из точки $H_2$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_2B_2$. Из точки $B_2$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_2H_3$. Из точки $H_3$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_3B_3$. Из точки $B_3$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_3H_4$. Из точки $H_4$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_4B_4=81$. Найти гипотенузу треугольника.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=30^{\circ}$. Из вершины $B$ прямого угла на гипотенузу $AC$ опущен перпендикуляр $BH_1$. Из точки $H_1$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_1B_1$. Из точки $B_1$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_1H_2$. Из точки $H_2$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_2B_2$. Из точки $B_2$ на гипотенузу опущен перпендикуляр $B_2H_3$. Из точки $H_3$ на катет $BC$ опущен перпендикуляр $H_3B_3=27$. Найти гипотенузу треугольника.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна $14{,}5$ и разбивает треугольник на два треугольника, периметры которых равны $49$ и $50$. Найти все стороны треугольника. Есть ли в задаче лишние данные? (Если да, то привести решение, не использующее эти данные).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна $18{,}5$ и разбивает треугольник на два треугольника, периметры которых равны $49$ и $72$. Найти все стороны треугольника. Есть ли в задаче лишние данные? (Если да, то привести решение, не использующее эти данные).