11 «Б» [1]. Расстояние от точки до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми

Найдем нормальный вектор плоскости как вектор, ортогональный векторам $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, лежащим в этой плоскости. Для этого найдем их векторное произведение: $$\vec n=\overline{AB}\times\overline{AC} = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ -2-1 & 1-(-1) & 3-1 \\ 4-1 & -5-(-1) & -2-1 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ -3 & 2 & 2 \\ 3 & -4 & -3 \\ \end{vmatrix}=2\vec\imath-3\vec\jmath+6\vec k.$$ Осталось составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1,~-1,~1)$ перпендикулярно вектору $\vec n=(2,~-3,~6)$: $$2(x-1)+(-3)(y-(-1))+6(z-1)=0,$$ откуда, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим общее уравнение плоскости: $2x-3y+6z-11=0$.

Подставив данные параметрические выражения для прямой в уравнение плоскости, получим уравнение относительно $t$: $$2(2t-1)+3(1-t)-2(3t+1)+11=0,$$ решив которое, найдем $t=2$. Подставив найденное $t=2$ в уравнения прямой, получим координаты точки пересечения.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Чтобы составить уравнение одной из таких плоскостей, найдем её нормальный вектор, для чего вычислим векторное произведение направляющих векторов данных прямых: $$ \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 3 & 4 & -2 \\ 6 & -4 & -1 \\ \end{vmatrix}=-12\vec\imath-9\vec\jmath-36\vec k. $$ В качестве нормального вектора искомой плоскости возьмем вектор $\vec n=(4,~3,~12)$, коллинеарный найденному $\overline{(-12,~-9,~-36)}$. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку $A(-7,~-4,~-3)$ (эта точка лежит на первой прямой из условия задачи) перпендикулярно вектору $\vec n=(4,~3,~12)$: $$4(x-(-7))+3(y-(-4)+12(z-(-3))=0,$$ откуда $4x+3y+12z+76=0$. Плоскость, уравнение которой мы составили, содержит первую прямую и параллельна второй. Осталось найти расстояние от точки $B(21,~-5,~2)$ (эта точка лежит на второй прямой из условия задачи) до плоскости $4x+3y+12z+76=0$. Самостоятельно закончите решение задачи.