Поиск задач

Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ \dfrac{3}{(x-1)^3}+\dfrac{6-a}{(x-1)^2}-\dfrac{5a}{x-1}+a^2\leqslant 0 \] не выполняется ни для одного $x$ из интервала $(1;2)$. Укажите решения неравенства при найденных значениях параметра $a$.

Найдите все значения $x$, для которых неравенство \[ \sqrt{2x^2+8x+a}\gt ax^2+(1-a)(2x-1)-15 \] верно для любого $a\in[-2;0]$.

Найдите множество значений функции \[ f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{6\log_{0{,}25}^{-1}\left(\dfrac{\sin x}{\sin x+15}\right)}. \]

Найдите сумму целых чисел, которые принадлежат множеству значений функции \[ f(x)=\log_2\left(15\cos2x+17\right) \] при \[ x\in\left[\frac{5}{3}\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{7}\right)\cos\left(\pi+\arcsin(-0{,}8)\right);\ \operatorname{arctg}2\right]. \]

Найдите множество значений функции \[ f(x)=1/g\bigl(64g(16g(\log_2x))/5\bigr), \] где $g(x)=\sqrt[5]{x}+1/\sqrt[5]{x}$.

Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_2\dfrac{\cos2x+2\sin^2x}{1-\sin3x}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.

Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_4\dfrac{\cos2x-2\cos^2x}{\cos x-1}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.

Нечётная функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента $x$ значение этой функции на 16 меньше, чем значение функции \[ g(x)=\left(x^2+x-4\right)^2. \] Найдите число корней уравнения $f(x)=0$.

Какое максимальное возможное количество идущих подряд членов возрастающей геометрической прогрессии могут быть 3-значными натуральными числами? Приведите пример такой последовательности.

Иллюминатор представляет собой однокамерный стеклопакет (два однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает одно стекло, если известно, что внутрь корабля стеклопакет пропускает треть попадающего на него света, а остальное отражается (без потерь).

Иллюминатор представляет собой двухкамерный стеклопакет (три однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает стеклопакет внутрь корабля, если одно стекло пропускает 60% попадающего на него света.

Числа $x$, $y$, $z$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Числа $y$, $z$, $t$ — последовательные члены геометрической прогрессии. \[ x+t=21,\quad z+y=18. \] Найдите числа $x$, $y$, $z$, $t$. В ответ выпишите значение $x$. Если таких значений несколько, то выпишите большее из них.

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(|x-5|-|x-1|\right)\log_4(6-x)}{\left(9^x-12\cdot3^x+27\right)\log_3x}\leqslant0. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(x+9-4\sqrt{x+6}\right)\log_2(x+1)}{\left(4^x-3\cdot2^x+2\right)\log_5(5-x)}\geqslant0. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(5\cdot2^{-\log_x3}-2{,}5\right)\sqrt{2-\sqrt{\log_x3+1}}}{1+\sqrt{\log_x3+8}}\gt \dfrac{\left(2^{-\log_x3}-0{,}5\right)\sqrt{2-\sqrt{\log_x3+1}}}{\sqrt{\log_x3+8}-3}. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(|5-x^2|-4\right)\left(9x^2+\sqrt{9x^2-1}-1\right)}{\left(|x-1|-|7+x|\right)\sqrt{x^2-2x+1}}\geqslant 0. \]

Зимой в городе выпало такое количество снега, что при расчистке улиц его некуда было складывать, поэтому коммунальная служба города организовала временные пункты плавления снега на прямоугольной площадке размером $4$ м длиной и $2$ м шириной. Ограждений по краям нет. Чтобы снег не осыпался за границы, угол наклона его поверхности к земле со всех сторон не должен превышать $\alpha$, где $\operatorname{tg}\alpha=3$. Снег насыпан так, что занимает максимально возможный объём при соблюдении этого условия. И при этом объем талой воды не превышает максимально возможный объем водоотвода.
Из-за разной плотности снега в нижних и верхних слоях (нижние слои более уплотнены временем и весом), коэффициент таяния (отношение объёма полученной воды к объёму снега) зависит от высоты слоя. Для упрощения расчётов снежную кучу высотой $H$ разделили на три горизонтальных слоя одинаковой толщины.

• Верхний слой (от $2H/3$ до $H$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.3$ м$^3$ воды.
• Средний слой (от $H/3$ до $2H/3$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.6$ м$^3$ воды.
• Нижний слой (от $0$ до $H/3$ метра высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.9$ м$^3$ воды.

Найдите максимальный объём снега $V$, который можно разместить на площадке. Вычислите общий объём воды $W$, который образуется после полного таяния снега.

На боковых ребрах $TA$, $TB$, $TC$ правильной треугольной пирамиды $TABC$ соответственно выбраны точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что $\frac{TA}{TA_1}=\frac{TB}{TB_1}=\frac{TC}{TC_1}=3$. Точка $O$ — центр сферы, описанной около пирамиды $TABC_1$. Докажите, что прямая $TO$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C$. Найдите радиус этой сферы и объем пирамиды $TA_1B_1C$, если сторона основания $AB=1$, боковое ребро $TA=5/4$.

Угол, образованный биссектрисами внешних углов при вершинах $B$ и $C$ треугольника $ABC$, равен $80^\circ$. Найдите угол $BAC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=2$ проведены медиана $CM$ и биссектриса $CL$.
1. Найдите отношение площадей треугольников $CML$ и $ABC$.
2. Найдите тангенс угла $MCL$.