Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
На дуге полукруга с диаметром $MN$ и центром $O$ взята точка $K$. Построен треугольник $ABC$ такой, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите отношение площади сектора $MOK$ к площади полукруга, если известно, что $AC=BC=OM$ и $\angle ACB=72^\circ$.
Ответ:
Решение:
На дуге полукруга с центром $O$ и диаметром $MN$ взята точка $K$. Построен равносторонний треугольник $ABC$ с длиной стороны, равной радиусу полукруга, так, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите $\angle MOK$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BAD=60^\circ$, биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются на стороне $BC$. Найдите $AB$, если $AD=10$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ выполняется соотношение $BC=3AB$. Биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $PQ=5$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$ и $AC:BD=3:2$. На сторонах параллелограмма взяли последовательно точки $K$, $L$, $M$ и $N$ так, что $KLMN$ — ромб, стороны которого параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площади ромба $KLMN$ к площади параллелограмма $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ в $3$ раза больше стороны $AB$. Биссектрисы углов $DAB$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $MN=10$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ окружность радиуса $1/4$ с центром на отрезке $CD$ проходит через точку $D$ и касается отрезка $BC$ в точке $E$ такой, что угол $BED$ равен $\operatorname{arctg}\frac{4}{3}$. Найдите высоту параллелограмма $DF$, проведённую к стороне $BC$, и длину отрезка $CD$. Найдите площадь параллелограмма, если $AB=BE$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм с тупым углом $C$. Пусть $E$ — точка пересечения прямой $AB$ с перпендикуляром к $AC$, проходящим через $C$, а прямая $ED$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Известно, что $CN=6$, $AN=12$, а $\mathrm{tg}\left(\frac12\angle ADC\right)=\frac45$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем значении параметра $a$ функция $2x^3+18x^2+ax+5$ будет возрастать на всей числовой оси?
Ответ:
Решение:
В ромбе $ABCD$ с острым углом $A$ продолжение высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$, пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Известно, что высота ромба равна $1$, а $CP=\dfrac{9}{2\sqrt2}$. Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.
Ответ:
Решение:
Точки $K$, $M$, $P$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $BKPM$ — квадрат, а расстояния от точек $K$ и $M$ до прямой $AC$ равны $13$ и $17$ соответственно. Найдите площадь квадрата $BKPM$.
Ответ:
Решение:
Угол $A$ ромба $ABCD$ равен $60^\circ$. На продолжениях его сторон $AB$ и $AD$ за точки $B$ и $D$ взяты точки $Q$ и $P$ соответственно так, что прямая $PQ$ проходит через точку $C$. Найдите длину отрезка $BQ$, если $DP=10$, а $DQ:BP=11:10$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$, точка $M$ — середины его стороны $AB$. На чертеже отметили точки $N$ и $K$. Вычислите площадь квадрата $ABCD$, если расстояние $OK=L$.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) пересекаются в точке $O$. Известно, что $OB=15$, $OC=12$, $OD=25$, $CD=\sqrt{769}$. Найдите $AB$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $BC$ равно $5$, боковая сторона $AB$ равна $10$. Биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $CD$ в точке $E$, а прямую $BC$ — в точке $F$, причём $AE\perp CD$, $EF=4$. Найдите длины отрезков $AE$ и $AD$, а также площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
Боковая сторона $AB$ трапеции $ABCD$ равна $10$, а меньшее основание $BC$ равно $5$. Биссектриса угла $A$ перпендикулярна отрезку $CD$, пересекает его в точке $K$ и пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $C$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $KF=4$.
Ответ:
Решение:
Боковая сторона $AB$ трапеции $ABCD$ равна $10$, а меньшее основание $BC$ равно $5$. Биссектриса угла $A$ перпендикулярна отрезку $CD$, пересекает его в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $C$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $EF=4$.
Ответ:
Решение:
На приведённом чертеже $ABCD$ — прямоугольная трапеция, основания $BC$ и $AD$ которой равные $a$ и $b$ соответственно, а $O$ — центр окружности, касающейся стороны $CD$. Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $XYZ$ равнобедренный ($\angle XYZ=\angle XZY=35^\circ$). Внутри угла $XYZ$, но вне треугольника $XYZ$ взята точка $P$ так, что $\angle XPY=22^\circ$, а $\angle ZPY=55^\circ$. Найдите $\angle PYX$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Точка $M$ — середина стороны $AB$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MK$ на сторону $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AH=MK$ и $AK=5$.
Ответ:
Решение: