Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
В четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известны длины всех рёбер: \[ AB=BC=CD=DA=5,\ SB=2\sqrt{5},\ SA=SC=3\sqrt{5},\ SD=2\sqrt{10}. \] Сфера $\omega$ с диаметром $SB$ пересекает грани пирамиды по множеству, состоящему из точки $S$ и линии $L$, не содержащей точку $S$. Найдите длину линии $L$.
Ответ:
Решение:
Трое ребят принялись красить лист ватмана, каждый в свой цвет. Один закрасил красным $75\%$ листа, второй закрасил зелёным $70\%$ листа, а третий закрасил синим $65\%$ листа. Сколько процентов листа будет заведомо закрашено всеми тремя цветами?
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=8$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=40$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=16$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=18$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\sin x=2\cos y-\dfrac52\sin y$, $\cos x=2\sin y-\dfrac52\cos y$. Найдите $\sin2y$.
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)-\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \cos^4\dfrac{5\pi}{24}+\cos^4\dfrac{11\pi}{24}+\sin^4\dfrac{13\pi}{24}+\sin^4\dfrac{19\pi}{24}. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}(2\alpha-\beta)+6\operatorname{tg}2\alpha+\operatorname{tg}\beta=0$ и $\operatorname{tg}\alpha=2$. Найдите $\operatorname{ctg}\beta$.
Ответ:
Решение:
Углы $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют равенствам \[ \sin(2\alpha+2\beta)=-\frac1{\sqrt5};\quad \sin(2\alpha+4\beta)+\sin 2\alpha=-\frac45. \] Найдите все возможные значения $\operatorname{tg}\alpha$, если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\cos\alpha-\sin\beta=\frac14$, $\cos 3\alpha+\sin 3\beta=-\frac{11}{16}$. Найдите наибольшее значение выражения $\cos^2\alpha+\sin^2\beta$.
Ответ:
Решение:
Про вещественное число $x$ известно, что \[ \sin x+1001\cos x=1000. \] Найдите максимальное значение выражения $|1001\sin x-\cos x|$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac25\right)$, а числа $3+\sin x$, $3+\sin y$, $3+\sin z$ образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $\sin y$.
Ответ:
Решение:
Известно, что числа $x$, $y$, $z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $\alpha=\arccos\left(-\dfrac37\right)$, а числа $\dfrac{1}{\cos x}$, $\dfrac{7}{\cos y}$, $\dfrac{1}{\cos z}$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $\cos^2 y$.
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \mathrm{ctg}\,x-\mathrm{ctg}\,y=2\quad\text{и}\quad 5\sin(2x-2y)=\sin 2x\sin 2y. \] Найдите $\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,y$.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \frac{\cos x-\sin x}{\sin y}=\frac{1}{3\sqrt2}\operatorname{ctg}\frac{x+y}{2}\quad\text{и}\quad\frac{\sin x+\cos x}{\cos y}=-6\sqrt2\operatorname{tg}\frac{x+y}{2}. \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}(x+y)$, если известно, что их не менее трёх.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \frac{\cos 3x}{(2\cos 2x-1)\cos y}=\frac25+\cos^2(x+y)\quad\text{и}\quad\frac{\sin 3x}{(2\cos 2x+1)\sin y}=\frac35+\sin^2(x+y). \] Найдите все возможные значения выражения $\cos(x+3y)$, если известно, что их не менее двух.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Отец и сын катаются на коньках по кругу с постоянными скоростями. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в $9$ раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?
Ответ:
Решение: