Поиск задач

Вася знает, что Петя задумал натуральное число, не большее 4. Вася может указать любое натуральное число или несколько чисел и спросить Петю, есть ли задуманное число среди них (например: «Верно ли, что задуманное число равно 2?» или «Верно ли, что задуманное число равно 2 или 3?»). Петя должен ответить «Да» или «Нет». Как Васе за 11 вопросов узнать задуманное число, если Петя в ответ может и соврать, но не больше трех раз?

Каждую клетку доски $7\times7$ закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, не совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех.

Точки $D$ и $E$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ за точки $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AE$ и $DC$. Докажите, что $MN\gt AD/2$.

На экране компьютера горит число, а на пульте компьютера есть две кнопки. Нажатие на одну из кнопок переводит число $n$, написанное на экране, в $2n-1$, а на другую — в $2n+1$. Пока оператор отсутствовал, хулиган Вася подкрался к пульту и произвёл сто несанкционированных нажатий на кнопки. Докажите, что по числу, которое теперь горит на экране, оператор (знающий, сколько раз Вася нажимал на кнопки и какое число было на экране до прихода Васи) сможет определить, в каком порядке Вася нажимал на кнопки, если число, горевшее вначале на экране:
1. целое;
2. произвольное.

Напомним, что факториалом $n!$ натурального числа $n$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно (например, $1!=1$, а $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5$). Можно ли из чисел $1!, 2!, \ldots, 99!, 100!$ вычеркнуть одно так, чтобы произведение оставшихся оказалось кубом натурального числа?