Поиск задач

Двадцать восемь лямзиков весами 2, 3, 4 и 5 кг (по 7 лямзиков каждого веса) переправились через реку на вёсельной лодке, выдерживающей вес 10 кг. Известно, что каждый лямзик грёб не более двух раз. Докажите, что грести пришлось не менее чем 12 лямзикам. У лодки один гребец, без гребца лодка плыть не может.

Петя отмечает на плоскости четыре точки так, чтобы их все нельзя было зачеркнуть двумя параллельными прямыми. Из прямых, проходящих через пары точек, Вася выбирает две, измеряет угол между ними и платит Пете сумму, равную градусной мере угла. Какую наибольшую сумму может гарантировать себе Петя?

Решите ребус \[\text{УХА}=\text{НОК}(\text{УХ},\,\text{УА},\,\text{ХА}).\] Здесь У, Х, А — три различные цифры. Двузначные и трёхзначные числа не могут начинаться с нуля. Напомним, что НОК нескольких натуральных чисел — наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из них.

Учительница нарисовала на доске прямоугольник $ABCD$. Ученик Петя разделил этот прямоугольник на два прямоугольника прямой, параллельной стороне $AB$. Оказалось, что площади этих частей относятся как $1:2$, а периметры как $3:5$ (в том же порядке). Ученик Вася разделил этот прямоугольник на две части прямой, параллельной стороне $BC$. Площади новых частей тоже относятся как $1:2$. Как относятся их периметры?

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $K$. $KM$ и $KP$ — это биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$ соответственно. Оказалось, что диагональ $MK$ делит четырёхугольник $BMPK$ на два равных треугольника. Докажите, что $M$ — середина $AB$.