Поиск задач

На множестве целых чисел ввели две операции: \[a\star b=b^2-a^2,\quad a\diamond b=a-b+3.\] Найдите значение выражения \[\Bigl(\ldots\Bigl(\bigl(((1\star 2)\diamond 3)\star 4\bigr)\diamond 5\Bigr)\star\ldots\Bigr)\star 2024.\]

При каком наименьшем $n$ во все клетки таблицы $4\times 10$ можно расставить некоторые из чисел от 1 до $n$, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?

Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть $a$ — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
а) Чему равно наибольшее возможное значение $a$?
б) Чему равно наименьшее возможное значение $a$?

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$. Вписанные окружности треугольников $ABD$ и $ACD$ касаются $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно и касаются $BC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть прямые $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите площадь треугольника $XYZ$, если известно, что $BC=22$, $AD=12$, а периметр треугольника $ABC$ равен 56.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ на стороне $AD$ отметили такую точку $X$, что $AX=CD$ и $\angle BXD=\angle CDA$. Найдите $BX$, если известно, что $AB=8$, $BC=10$, $CD=3$.

Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит $2n$ членов. Известно, что разность суммы последних $n$ и суммы первых $n$ членов равна 450. Укажите все возможные значения $n$, если известно, что $n\gt 1$.

Вычислите сумму \[\frac{x_1^3}{1-3x_1+3x_1^2}+\frac{x_2^3}{1-3x_2+3x_2^2}+\ldots+\frac{x_{101}^3}{1-3x_{101}+3x_{101}^2},\] если для всех $i$ от 1 до 101 выполнено, что $x_i=\dfrac{i}{101}$.

У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером $n$ и ставит её непосредственно справа от книги с номером $m$, где $m$ — наибольший собственный делитель $n$. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
а) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33?
б) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.