Поиск задач

В стране $n\gt 100$ городов и пока нет дорог. Правительство наугад определяет стоимость строительства дороги (с двусторонним движением) между каждыми двумя городами, используя по разу все суммы от 1 до $n(n-1)/2$ талеров (все варианты равновероятны). Мэр каждого города выбирает самую дешёвую из $n-1$ возможных дорог, идущих из этого города, и она строится (это может быть взаимным желанием мэров обоих соединяемых городов или только одного из двух).
После строительства этих дорог города оказываются разбиты на $M$ компонент связности (между городами одной компоненты связности можно добраться по построенным дорогам, возможно, с пересадками, а между городами разных компонент — нельзя). Найдите математическое ожидание случайной величины $M$.

Квартал представляет собой клетчатый квадрат $10\times10$. В новогоднюю ночь внезапно впервые пошёл снег, и с тех пор каждую ночь на каждую клетку выпадало ровно по 10 см снега; снег падал только по ночам. Каждое утро дворник выбирает один ряд (строку или столбец) и сгребает весь снег оттуда на один из соседних рядов (с каждой клетки — на соседнюю по стороне). Например, он может выбрать седьмой столбец и из каждой его клетки сгрести весь снег в клетку слева от неё. Сгребать снег за пределы квартала нельзя. Вечером сотого дня года в город приедет инспектор и найдёт клетку, на которой лежит сугроб наибольшей высоты. Цель дворника — добиться, чтобы эта высота была минимальна. Сугроб какой высоты найдёт инспектор?

Юрий подошёл к великой таблице майя. В таблице 200 столбцов и $2^{200}$ строк. Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна, и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа с каждой строки. Могло ли так случиться, что теперь Юрий хотя бы про 10 000 строк может узнать, что в каждой из них изображено в каждом из столбцов?

Четырёхугольник $ABCD$, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность $\omega$. Через вершину $A$ проведена прямая $\ell_a\parallel BC$, через вершину $B$ — прямая $\ell_b\parallel CD$, через вершину $C$ — прямая $\ell_c\parallel DA$, через вершину $D$ — прямая $\ell_d\parallel AB$. Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на этих четырёх прямых (именно в этом порядке), вписан в окружность $\gamma$. Окружности $\omega$ и $\gamma$ пересекаются в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямые $AC$, $BD$ и $EF$ пересекаются в одной точке.

Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром в точке $O$, его высоты пересекаются в точке $H$. Через точку $O$ проведена прямая, перпендикулярная $AH$, а через точку $H$ — прямая, перпендикулярная $AO$. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами $AB$ и $AC$ лежат на одной окружности, которая касается окружности $\omega$.

Тройку положительных чисел $(a,b,c)$ назовём загадочной, если \[ \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca}=2(a+b+c). \] Докажите, что если тройка $(a,b,c)$ — загадочная, то тройка $(c,b,a)$ — тоже загадочная.

В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удалённых от данной прямой $\ell$ на данное расстояние $R\gt 0$). Могут ли шесть прямых, содержащих рёбра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром?

Докажите, что существует такое $c\gt 0$, что для любого нечётного простого $p=2k+1$ числа $1^0$, $2^1$, $3^2$, $\ldots$, $k^{k-1}$ дают хотя бы $c\sqrt{p}$ различных остатков при делении на $p$.