Поиск задач

На координатной плоскости отметили все точки $(x,y)$ такие, что $x$ и $y$ — целые числа, удовлетворяющие неравенствам $0\leqslant x\leqslant 2$ и $0\leqslant y\leqslant 26$. Сколько существует прямых, проходящих ровно через 3 отмеченные точки?

Учитель написал на доске двузначное число. Каждый из троих ребят сказал по два утверждения.

• Андрей: «это число заканчивается на цифру 6» и «это число делится на 7».
• Боря: «это число больше 26» и «это число заканчивается на цифру 8».
• Саша: «это число делится на 13» и «это число меньше 27».

Известно, что каждый из мальчиков один раз сказал правду и один раз ошибся. Какое число могло быть написано на доске? Укажите все возможные варианты.

В шахматном турнире соревнуются друг с другом команда школьников и команда студентов, в каждой из которых по 15 человек. В течение турнира каждый школьник должен сыграть с каждым студентом ровно один раз, причём каждый день каждый человек должен играть не более одного раза. В разные дни могло проводиться разное количество игр.
В некоторый момент турнира организатор заметил, что может составить расписание на следующий день из 15 игр ровно 1 способом, а из 1 игры — $N$ способами (порядок игр в расписании не важен, важно лишь кто с кем играет). Найдите наибольшее возможное значение $N$.

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ ($M$ лежит на отрезке $AN$). Известно, что $AB=AN$, $BC=MC$. Описанные окружности треугольников $ABM$ и $CBN$ пересекаются в точках $B$ и $K$. Сколько градусов составляет угол $AKC$, если $\angle ABC=68^\circ$?

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle C=57^\circ$, $\sin\angle A+\sin\angle B=\sqrt{2}$ и $\cos\angle A+\cos\angle B=2-\sqrt{2}$. Сколько градусов составляет угол $D$?

Внутри тетраэдра $ABCD$ даны точки $X$ и $Y$. Расстояния от точки $X$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 14, 11, 29, 8 соответственно. А расстояния от точки $Y$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 15, 13, 25, 11 соответственно. Найдите радиус вписанной сферы тетраэдра $ABCD$.

У Веры есть набор различных по массе гирь, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что самая лёгкая гиря набора весит в 71 раз меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Также известно, что две самые лёгкие гири набора вместе весят в 34 раза меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Какое наименьшее число грамм может весить самая лёгкая гиря?

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^a$ делится на $b^b$, однако $a$ не делится на $b$. Найдите наименьшее возможное значение числа $a+b$, если известно, что число $b$ взаимно просто с 210.