Поиск задач

Есть две коробки, в одной 2017 конфет, а в другой 2018. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может съесть любое количество конфет, отличное от нуля, из любой коробки. Правила игры не допускают, чтобы после какого-то хода число конфет в одной из коробок делилось на число конфет в другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход, не нарушив этого условия. Кто сможет выиграть: начинающий игру или второй игрок, как бы ни играл его соперник?

33 богатыря выходят в дозор 33 дня. В первый день должен выйти один богатырь, во второй — два, в третий — три, и так далее, в последний день — все богатыри. Сможет ли дядька Черномор организовать дозоры так, чтобы все богатыри вышли в дозор одинаковое количество раз?

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Оказалось, что радиусы $OA$ и $OB$ первой окружности являются касательными ко второй окружности. Через точку $A$ проведена прямая, которая вторично пересекает окружности в точках $M$ и $N$. Докажите, что $MB\perp NB$.

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $AY$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что площадь треугольника $XBY$ больше площади треугольника $XTY$.

Существуют ли такие попарно различные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2bx+c^2$, число $b$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2cx+a^2$, а число $c$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2ax+b^2$?

Выписаны все делители некоторого натурального числа, кроме единицы и его самого. Какие-то два числа из этого списка отличаются в шесть раз. А во сколько раз отличаются два самых больших числа из этого списка?