Поиск задач

В вершинах семнадцатиугольника записали различные целые числа (по одному в каждой вершине). Затем все числа одновременно заменили на новые: каждое заменили на разность двух следующих за ним по часовой стрелке чисел (из соседнего вычитали следующее за ним). Могло ли произведение полученных чисел оказаться нечётным?

В стопку сложены 300 карточек: 100 белых, 100 чёрных и 100 красных. Для каждой белой карточки подсчитано количество чёрных, лежащих ниже её, для каждой чёрной — количество красных, лежащих ниже её, а для каждой красной — количество белых, лежащих ниже её. Найдите наибольшее возможное значение суммы трёхсот получившихся чисел.

В выпуклом пятиугольнике $PQRST$ угол $PRT$ в два раза меньше, чем угол $QRS$, а все стороны равны. Найдите угол $PRT$.

Существует ли треугольник, у которого сумма косинусов внутренних углов равна 1?

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ ($ABCDEF$ — основание) боковое ребро равно $a$, плоский угол при вершине $S$ равен $10^\circ$. Муравей ползёт по поверхности пирамиды из вершины $A$, стремится побывать на всех боковых рёбрах (возможно в вершинах) и вернуться в точку $A$. Какова длина его кратчайшего пути?

Графики функций $y=ax^2$, $y=bx$ и $y=c$ пересекаются в точке, расположенной выше оси абсцисс. Определите, сколько корней может иметь уравнение $ax^2+bx+c=0$.