Поиск задач

100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и Вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но Вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках стало поровну.

В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три — на правую, то левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два — на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?

Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?

Из вершины тупого угла $A$ треугольника $ABC$ опущена высота $AD$. Проведена окружность с центром $D$ и радиусом $DA$, которая вторично пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $AC$, если $AB=c$, $AM=m$ и $AN=n$.

Сумма двух целых чисел равна $S$. Маша умножила левое число на целое число $a$, правое — на целое число $b$, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на $S$. Алёша, наоборот, левое число умножил на $b$, а правое — на $a$. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на $S$.

На листе бумаги построили параболу — график функции $y=ax^2+bx+c$ при $a\gt 0$, $b\gt 0$ и $c\lt 0$, — а оси координат стёрли. Как они могли располагаться? (Изобразите любой пример, соответствующий указанным знакам коэффициентов, не изменяя положения самой параболы.)