Поиск задач

В ящике лежат сто разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных, 13 жёлтых, 19 синих, 11 белых и 9 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее 15 шариков одного цвета?

Найдите главный (наименьший положительный) период функции \[ y=\left(\arcsin\left(\sin\left(\arccos\left(\cos3x\right)\right)\right)\right)^{-5}. \]

Найдите наибольшее значение $x+y$, если числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенству \[ \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} y\geqslant1. \]

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Для любого натурального $n$ и для любого набора чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ из отрезка $[0;3]$ уравнение \[ \sum_{i=1}^{n}|x-x_i|=an \] имеет решение $x$, принадлежащее отрезку $[0;3]$. Укажите, какие из следующих значений $a$ удовлетворяют этому условию: a) $a=0$; b) $a=\dfrac32$; c) $a=2$.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB=4$, $OC=6$.

Каков минимальный объём пирамиды, у которой в основании лежит правильный треугольник со стороной 6, а все плоские углы при вершине равны между собой и не превосходят $2\arcsin\dfrac13$?

Отрезок $AB=8$ пересекает плоскость $\alpha$ под углом $30^\circ$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $\alpha$ по окружности наименьшего радиуса.