Поиск задач

Решить уравнение \[(3\sin x+4\cos x)(20+12\sin x+5\cos 2x)=143.\]

Через центр $O$ окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Окружность $\omega$ проходит через точки $B_1$, $C_1$ и касается $\Omega$ в точке $K$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BC$. Найти площадь треугольника $ABC$ и радиус окружности $\Omega$, если $B_1C_1=6$, $AK=6$, а расстояние между прямыми $BC$ и $B_1C_1$ равно 2.

Решить неравенство \[\sqrt{\log_{(1-x)}\left(x^2+\dfrac12\right)}\lt \log_{(x-1)^2}\left(x^2-\dfrac{x}{2}+\dfrac12-x^3\right).\]

Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 1+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{x-y}{x^2y^2}+\dfrac{xy}{x-y},\\ \dfrac{x-y}{xy}\sqrt{x-y}=2-xy.\end{cases}\]

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[\left|x^5\right|-x+a=0\] имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных значений $a$.

Прямой круговой конус с вершиной $O$ имеет высоту 4 и образующую длины 5. Пирамида $ABCD$ вписана в конус так, что $A$ и $C$ принадлежат окружности основания, $B$ и $D$ принадлежат боковой поверхности, причем $B$ принадлежит образующей $OA$. Треугольники $OAC$ и $OBD$ равносторонние, причем $OB=3$. Найти объём пирамиды $ABCD$, двугранный угол при ребре $AB$ и радиус сферы, описанной около $ABCD$.