Поиск задач

Решить систему уравнений \[\begin{cases}2xy^2+8zx^2-4yz^2=6xyz,\\ 8xz^2-4yx^2+2zy^2=6xyz,\\ 2xy-4xz+2yz=3.\end{cases}\]

Решить уравнение \[\dfrac{\sin 3x\cos 5x+|\sin 5x\cos 3x|}{\sin 2x}=2\cos 2x.\]

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=5$, медиана $AD=\dfrac{\sqrt{97}}{2}$. На биссектрисе $CE$ выбрана точка $F$ такая, что $CF=\dfrac{CE}{5}$. Через точку $F$ проведена прямая $l$, параллельная $BC$. Найти расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до прямой $l$.

Основание прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ — треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=5$, $AC=6$. Высота призмы равна $\sqrt{6}$. На сторонах $AC$, $BC$ и $A_1C_1$ выбраны соответственно точки $D$, $E$ и $D_1$ так, что $DC=\dfrac{AC}{4}$, $BE=CE$, $A_1D_1=\dfrac{A_1C_1}{3}$, и через эти точки проведена плоскость $\Pi$. Найти:
1) площадь сечения призмы плоскостью $\Pi$;
2) угол между плоскостью $\Pi$ и плоскостью $ABC$;
3) расстояние от точек $C_1$ и $C$ до плоскости $\Pi$.

Найти все значения $a$, при которых уравнение \[4ax^2+(4a-3)x+a-14=0\] имеет на отрезке $[0;1]$ единственный корень.

Решить неравенство \[\sqrt{9-\sqrt{76-12x^3}}\lt 3-x.\]