Поиск задач

Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \left|\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|=-\sqrt2\cos y,\\ \cos2y+2\sin2x+\dfrac34=2\sin^32x. \end{cases} \]

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $6$, точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $B_1C_1$ соответственно, а точка $K$ расположена на ребре $DC$ так, что $DK=2KC$. Найти:
1) расстояние от точки $N$ до прямой $AK$;
2) расстояние между прямыми $MN$ и $AK$;
3) расстояние от точки $A_1$ до плоскости треугольника $MNK$.

Найти все значения $a$, при которых неравенство \[ \frac{8x^2-20x+16}{4x^2-10x+7}\leqslant a \] является верным при всех значениях $x$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) биссектрисы $AM$ и $BK$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $BOM$ и $COM$ соответственно равны $25$ и $30$. Найти площадь треугольника $ABC$ и проекцию отрезка $OM$ на прямую $BC$.

Решить уравнение \[ \log_{49}(x-1)^2+\frac12\log_{\sqrt7}\left(\frac{2x+9}{7x+9}\right)=0. \]