Поиск задач

Из шахматной доски $8\times 8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?

На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$ последовательных чисел.

Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x+1)=f(x+1)f(x)+1$?

Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB\lt BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $1\times 1$ и $100\times 100$?