Поиск задач

В стране лингвистов существует $n$ языков. Там живет $m$ людей, каждый из которых знает ровно три языка, причём для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно $k$. Оказалось, что $11n\leqslant k\leqslant m/2$. Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы $mn$ пар людей, которые не смогут поговорить без посредников.

Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Прямая, перпендикулярная стороне $AC$, пересекает сторону $BC$ и прямую $AB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $O$ и середины отрезков $AP$ и $CQ$ лежат на одной окружности.

Васе задали на дом уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, где $p_1$ и $q_1$ — целые числа. Он нашел его корни $p_2$ и $q_2$ и написал новое уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$. Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба — любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?

В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $CM$ за точку $C$ отметили точку $K$ так, что $AM=CK$. Известно, что угол $BMC$ равен $60^\circ$. Докажите, что $AC=BK$.

Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.