Поиск задач

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая — конечное число чёрных?

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали $1$ очко за победу, $\frac12$ — за ничью и $0$ — за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по $5$ шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.

Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, обладающие следующим свойством: $7p+1$ делится на $q$, а $7q+1$ делится на $p$.

Дан такой выпуклый четырёхугольник $ABCD$, что $AB=BC$ и $AD=DC$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $CD$ и $AC$ соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой $BC$, пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки $C$ к прямой $AD$, в точке $H$. Докажите, что прямые $KL$ и $HM$ перпендикулярны.

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов. Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

Три спортсмена стартовали одновременно из точки $A$ и бежали по прямой в точку $B$ каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки $B$, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке $A$. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от $A$ до $B$ равно $60$ м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше $100$ м?