Поиск задач

Докажите, что при любом разбиении ста «двузначных» чисел $00$, $01$, …, $99$ на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы любые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на $1$, $10$ или $11$, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все $10$ различных цифр.

Когда из бассейна сливают воду, уровень $h$ воды в нём меняется в зависимости от времени $t$ по закону $h(t)=at^2+bt+c$, а в момент $t_0$ окончания слива выполнены равенства $h(t_0)=h'(t_0)=0$. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Для каждого простого $p$ найдите наибольшую натуральную степень числа $p!$, на которую делится число $(p^2)!$.

На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции $y=\sin x$, $x\in(0;\alpha)$. Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если:
а) $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$;
б) $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$?

Через каждую вершину четырёхугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырёхугольника на две равновеликие части.
а) Докажите, что и четвёртая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырёхугольника, если один из них равен $72^\circ$?

Моток ниток проткнули насквозь $72$ цилиндрическими спицами радиуса $1$ каждая, в результате чего он приобрёл форму цилиндра радиуса $6$. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной $6$?