Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
$n$ грибников ходили в лес и принесли суммарно $200$ грибов (возможно, некоторые из грибников не принесли домой ни одного гриба). Мальчик Петя, узнав об этом, заявил: «Какие-то двое из них обязательно принесли одинаковое количество грибов!» При каком наименьшем $n$ мальчик Петя наверняка окажется прав? Не забудьте обосновать свой ответ.
Ответ:
Решение:
В десятичной записи чётного числа $M$ участвуют только цифры $0$, $2$, $4$, $5$, $7$ и $9$, цифры могут повторяться. Известно, что сумма цифр числа $2M$ равняется $35$, а сумма цифр числа $M/2$ равняется $29$. Какие значения может принимать сумма цифр числа $M$? Укажите все возможные ответы.
Ответ:
Решение:
Вася хочет найти все целые числа $a$ такие, что выражение $10n^3-3n^5+7an$ делится на $15$ для всех целых $n$. Какие остатки может давать число $a$ при делении на $15$? Укажите все возможные ответы или докажите, что таких целых чисел $a$ нет.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 3^{x^2-2ax+a^2}=ax^2-2a^2x+a^3+a^2-4a+4 \] имеет ровно одно решение?
Ответ:
Решение:
Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства \[ \bigl(y^2-\arcsin^2(\sin x)\bigr)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\lt 0. \]
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ вписана окружность, касающаяся боковой стороны $AD$ в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AK=16$, $DK=4$ и $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2=(y-z)^2-3,\\ y^2=(z-x)^2-7,\\ z^2=(x-y)^2+21. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника $ABC$ с описанной вокруг $ABC$ окружностью. Окружность, вписанная в треугольник $A_1B_1C_1$, касается одной из сторон $ABC$, а один из углов треугольника $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите два других угла треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$ и $K$ расположены на боковых рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ так, что $AM:AA_1=1:2$, $BN:BB_1=1:3$, $CK:CC_1=1:4$. Точка $P$ принадлежит призме. Найдите наибольшее возможное значение объёма пирамиды $MNKP$, если объём призмы равен $16$.
Ответ:
Решение:
Докажите неравенство \[ \log_{2015}2017\gt \frac{\log_{2015}1+\log_{2015}2+\ldots+\log_{2015}2016}{2016}. \]
Ответ:
Решение: