Поиск задач

Найдите $f(2024)$, если \[ f(x)=|2x-1|-|2x-3|+6 \] при $x\in[0;2]$ и, кроме того, при всех целых значениях $x$ \[ \begin{cases} f(x+3)\leqslant f(x)+6,\\ f(x+2)\geqslant f(x)+4. \end{cases} \]

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ \left|2[\operatorname{tg}a]-1\right|^x=[\operatorname{tg}a]^2+2 \] имеет рациональное решение $x$. Здесь $[t]$ — целая часть числа $t$.

Кривая, заданная уравнением \[ y=x^2+px+q, \] пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$, а ось $Oy$ — в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, а сумма ее координат равна $(-2023)$. Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$.

В остроугольном треугольнике $PVG$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $O$. Площади треугольников $OHP$ и $OHV$ равны $5$ и $3$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OHG$.

На испытаниях беспилотных летательных аппаратов лучшими оказались две модели. При встречном ветре 3 м/c модель Альфа продержалась в воздухе на 150 секунд меньше модели Бета, но пролетела на 500 метров дальше. Какая из моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде и на сколько? Скорость каждой из моделей считать постоянной. Время нахождения модели в воздухе определяется только ее техническими параметрами и не зависит от погодных условий.

Решите уравнение \[ 36\cos(x+\cos x)\cos(x-\cos x)+9=\pi^2 \] и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{7\pi}{4}\right]$.