Поиск задач

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Биссектрисы внутренних углов треугольника при вершинах $A$ и $B$ пересекают описанную окружность в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Угол между биссектрисами равен $60^\circ$. Длина стороны $AB$ равна 3. Найдите площадь треугольника $A_1B_1O$.

Дана бесконечная числовая последовательность $a_1, a_2, \ldots$, о которой известно следующее: $a_1=20$, $a_{n+1}=a_na_{n+2}$, $n\in\mathbb{N}$. Найдите все значения, которые может принимать $a_{2014}$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых среди решений уравнения \[\left(a^4+2014a^3+2014a^2+2014a+2013\right)x=a^3+3a^2-6a-8\] есть неотрицательные числа.

На основании прямого кругового конуса расположены три попарно касающихся друг друга шара одинакового радиуса. Каждый из них касается также боковой поверхности конуса. Четвёртый шар того же радиуса касается первых трёх и боковой поверхности конуса. Найдите объём конуса, если радиус окружности, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса, равен $\sqrt2$.

Решите уравнение \[\frac{\cos5x+\cos x}{\cos4x+\cos2x}=\frac{1+\cos4x}{\cos x}\,.\]