Поиск задач

Ученикам на входе в школу разрешалось брать из коробки любое количество карандашей. Позже выяснилось, что не менее 60% карандашей, полученных любой группой из десяти человек, оказывались у одного ученика из этой группы. Доказать, что в школе есть ученик, забравший более 58% карандашей, взятых всеми школьниками из коробки.

При каком значении $a$ уравнение $|\sin(2x-y)|+|\cos(x+2y)|+1=\frac{2a}{a^2+1}$ имеет решение? Найти эти решения. Найти минимальное $R$, при котором любой круг радиуса $R$ на плоскости содержит хотя бы одну точку с координатами $(x;y)$ — решениями уравнения.

Робот умеет совершать маневры двух типов: шагать по прямой вперед на 510 шагов и останавливаться, а также проходить по той же прямой 390 шагов назад и останавливаться. Заряд батареи допускает не более 20 таких маневров. Задача робота — остановиться как можно ближе к объекту, расположенному впереди на расстоянии 692 шага от начального положения робота. На каком наименьшем расстоянии от объекта может остановиться робот (в шагах)? Сколько раз при этом робот совершит движение вперед и назад?

При каких $b$ система уравнений \[ \begin{cases} (x-a)^2+(y-a+b)^2=2,\\ (x-y+3)(x-y-1)=0, \end{cases} \] имеет решения при любых $a$?

На боковых ребрах $DA$ и $DB$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь боковой поверхности пирамиды $MNCD$ с вершиной в точке $D$ составляет не более половины площади боковой поверхности пирамиды $ABCD$.

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $AM=CN=\sqrt{3}$. Точка $P$ — середина отрезка $MN$, точка $Q$ — середина стороны $AC$. Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Найти длину отрезка $PQ$.