Поиск задач

Решить уравнение $\{2\sin x\}+[\cos 2x]=0$, где $[a]$ целая часть числа $a$ — наибольшее целое число не превосходящее $a$, $\{a\}$ — дробная часть числа $a$: $\{a\}=a-[a]$.

Для каждого допустимого $a$ найти наименьшее решение уравнения \[ 2\log_a^2 x+\log_a x^3-3=\log_x a^2. \]

При каких $a$ уравнение $4\sin^2 x+4a\cos x-5a=0$ имеет решения на отрезке $\left[\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right]$?

Робот может совершать равные по длине шаги по дорожке вперед и назад, при этом выбор направления движения каждого шага является случайным и равновозможным. Робот сделал 10 шагов и остановился. Найти вероятность того, что он окажется на расстоянии более двух шагов от начала движения.

Плоскости $P$ и $Q$, параллельные основанию правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, пересекают ребро $SA$ пирамиды в точках $M$ и $N$. Длины отрезков $SM$, $SN$ и $SA$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем $q=3$. Найти двугранный угол при основании пирамиды, если известно, что в усеченную пирамиду с плоскостями оснований $P$ и $Q$ можно вписать шар.

Найти наименьшую длину отрезка числовой оси, содержащего три различных решения уравнения \[ \cos 2x-\sin 2x-\operatorname{ctg}2x\cdot\sin x+\sin x=0. \]