Поиск задач

Имеется куб, зафиксированный на ножках, и шесть различных красок. Сколькими способами можно покрасить все грани куба (каждую в один цвет, все краски использовать не обязательно) так, чтобы соседние грани (имеющие общее ребро) были разного цвета?

Дробь $1/5$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(a|y^3|+a|x^3|-8\right)\left(x^6+y^6-3a^2\right)=0,\\ \sqrt{x^6y^6}=a \end{cases} \] имеет восемь различных решений.

Внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ расположена правильная четырехугольная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$, основание $KLMN$ которой лежит в плоскости $ABC$. Центр основания $KLMN$ призмы расположен на отрезке $AC$, $KL\parallel AC$, $KN\parallel BD$ (точки $K$ и $B$ лежат по одну сторону от $AC$), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро $KK_1$ призмы равно 3. Вершины $L_1$ и $M_1$ верхнего основания призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$ принадлежат боковым граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ соответственно. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $BD$ и точку $L_1$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\gamma$, если сторона пирамиды равна $8\sqrt2$, а её высота равна 12.

Для улучшения жилищных условий горожан в некоторых городах реализуется программа реновации — замена не подлежащего сохранению жилищного фонда путем его сноса и капитального строительства на высвобождаемой территории. Как правило, разбор старых домов и расчистка площадки под новое строительство происходит на ограниченной территории. Поэтому нужна техника (вращающиеся экскаваторы), которая могла бы расчистить наибольшую площадь с наименьшим количеством перемещений.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.

Точка $M$ принадлежит катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, причем $AM=2$, $MC=16$. Отрезок $MH$ — высота треугольника $AMB$. Точка $D$ расположена на прямой $MH$ так, что угол $ADB$ равен $90^\circ$, и точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Найдите длину отрезка $BL$, если $L$ — точка пересечения $BD$ и $AC$, а тангенс угла $ACH$ равен $1/18$.