Поиск задач

Решите неравенство $\sqrt3\operatorname{tg}x-\sqrt[4]{\sin y}-\sqrt{\dfrac{3}{\cos^2x}+\sqrt{\sin y}-6}\geqslant\sqrt3$.

Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений

1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на $4$;
4. $a+6b+1$ — простое число

три истинны, а одно ложно.

Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение \[ \log_2\dfrac{3\sqrt3+(\sin x+4)\cos a}{3\sin a\cos x}=|3\sin a\cos x|\,\left|(\sin x+4)\cos a+3\sqrt3\right|. \]

Студент написал программу перекрашивания пикселя в один из 128 различных цветов. Эти цвета он занумеровал натуральными числами от 1 до 128, причем основные цвета получили следующие номера: белый цвет — номер 1, красный — 5, оранжевый — 13, желтый — 19, зеленый — 23, голубой — 53, синий — 55, фиолетовый — 83, черный — 128. Если исходный цвет пикселя имеет номер $n\leqslant 17$, то программа студента перекрашивает его в цвет с номером $3n-2$, а если исходный цвет пикселя имеет номер $n\geqslant 18$, то пиксель перекрашивается в цвет с номером $|129-2n|$. Изначально пиксель имел красный цвет. К нему студент последовательно применил свою программу 2019 раз. В какой цвет в результате окрасился пиксель?

Основанием пирамиды $TABC$ служит треугольник $ABC$, все стороны которого равны $3$, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром $TA$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через центр сферы, описанной около пирамиды, образующей с плоскостью основания угол $60^\circ$, пересекающей ребро $AB$ в точке $M$, так что $MB=2AM$, и пересекающей ребро $BC$. Известно, что расстояние от точки $A$ до плоскости сечения равно $0{,}25$.

В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$, проведена биссектриса $AD$. Радиус описанной около треугольника $ADC$ окружности с центром в точке $O$ равен $2\sqrt3/3$. Найдите длину отрезка $BM$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BO$, если $AB=1$.