Поиск задач

Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным $1$) с целыми коэффициентами таких, что они имеют хотя бы один корень, все их корни являются степенями числа $7$ с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $49^{68}$.

Найдите все значения $x$, при каждом из которых одно из трёх данных чисел \[ \log_x\left(x-\frac{13}{6}\right),\quad \log_{x-\frac{13}{6}}(x-3)\quad\text{и}\quad \log_{x-3}x \] равно произведению двух остальных.

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=4g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=Af(x)$.

Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность $\Omega$ с диаметром $5$ описана вокруг треугольника $ABM$, где $M$ — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. $\Omega$ вторично пересекает луч $CB$ и отрезок $AD$ в точках $E$ и $K$ соответственно. Длина дуги $AE$ в два раза больше длины дуги $BM$ (дуги $AE$ и $BM$ не имеют общих точек). Длина отрезка $MK$ равна $3$. Найдите длины отрезков $BC$, $BK$ и периметр треугольника $EBM$.

На ребре $BC$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбрана точка $M$. Сфера, построенная на отрезке $C_1M$ как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре $B_1B$. Известно, что $BM=1$, $CM=8$. Найдите длину ребра $AA_1$, радиус сферы и объём параллелепипеда.

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от восемнадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна $1005$, а сумма расстояний от этих же восемнадцати чисел до числа $a^2$ равна $865$. Найдите все возможные значения $a$.

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \sin y+\cos x=\sin 3x\quad\text{и}\quad \sin 2y-\sin 2x=\cos 4x-\cos 2x. \] Какое наименьшее значение может принимать сумма $\cos y+\sin x$?