Олимпиада им. Леонарда Эйлера

За круглым столом сидели 99 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них сказал: «Хотя бы один из двух моих соседей — лжец.» Могло ли среди них быть ровно 60 рыцарей?

Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b$, что \[\text{НОД}(a,b)+\text{НОК}(a,b)=ab/2.\]

На шахматной доске $8\times8$ нарисованы по клеточкам 17 не налегающих друг на друга двухклеточных прямоугольников. Докажите, что на доске найдутся две имеющие общую сторону клетки, одна из которых лежит в одном из нарисованных прямоугольников, а другая — в другом прямоугольнике.

Положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[(a+b+2c)^2\gt d,\quad (b+c+2d)^2\gt a,\quad (c+d+2a)^2\gt b,\quad (d+a+2b)^2\gt c.\] Докажите, что $a+b+c+d\gt 1/4$.

В треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что \[\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB.\] На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML=KL$. Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам.