Олимпиада «Физтех»

Дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ Известно, что \[a_3+a_6=23,\quad a_6^2-a_3^2=207.\] Чему равен девятый член прогрессии?

Пусть $\Pi(k)$ обозначает произведение всех цифр натурального числа $k$. Найдите наименьшее пятизначное число $n$ такое, что \[\Pi(n)=\Pi(n+1)=\Pi(n+2)\lt \Pi(n+3)=648.\]

$20$ школьников записываются на кружки по физике, математике и информатике. Каждый школьник может записаться на любое количество из этих трёх кружков, но обязан выбрать хотя бы один из них. Известно, что на информатику записались $13$ школьников, на физику — $10$ школьников, а $9$ человек записались на математику. Оказалось, что ровно $9$ человек записались не менее чем на $2$ кружка сразу. Найдите количество учеников, выбравших все три кружка.

Пункты $A$ и $B$ находятся на шоссе на расстоянии $70$ километров друг от друга. В полдень из пункта $A$ в направлении пункта $B$ выезжает мотоцикл (его движение не заканчивается в пункте $B$). Он едет с постоянной скоростью $50$ км/ч. Одновременно вместе с мотоциклом из пункта $B$ выезжает машина, которая движется в том же направлении вдоль шоссе, что и мотоцикл. Машина начинает движение с нулевой скоростью и движется с постоянным ускорением $40$ км/ч$^2$. Определите наименьшее расстояние между машиной и мотоциклом в первые два часа движения. Ответ выразите в километрах.

В ромбе $ABCD$ с острым углом $A$ продолжение высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$, пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Известно, что высота ромба равна $1$, а $CP=\dfrac{9}{2\sqrt2}$. Найдите длину стороны ромба, если известно, что это целое число.

Для какого наибольшего числа $N$ существуют такие числа $m$ и $k$, что $N=m+k$, а уравнения \[x^3-11x=m\quad\text{и}\quad x^2-2x=k\] имеют два общих корня?

Известно, что при некоторых $x$ и $y$ ровно два из четырёх чисел \[x-2y-2{,}5;\quad 2x-y-3;\quad x^2-2x+y^2+y+3;\quad x^2-x+y^2+2y+2{,}5\] равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения $x+y$.

В треугольнике $ABC$ с острыми углами при вершинах $A$ и $B$ проведена высота $CH$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Площадь треугольника $AHM$ равна $90$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{18}{5}$. Площадь треугольника $BHN$ равна $420$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{42}{5}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

В каждую клетку доски $24\times30$ клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любом «уголке» из $3$ клеток стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наибольшее количество белых шашек может стоять на доске?

За круглый стол сели $90$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?