Олимпиада «Физтех»

Известно, что $\cos\alpha-\sin\beta=\frac14$, $\cos 3\alpha+\sin 3\beta=-\frac{11}{16}$. Найдите наибольшее значение выражения $\cos^2\alpha+\sin^2\beta$.

Уравнение $x^3+7x^2-42x+a=0$ имеет три различных корня, которые образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра $a$. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.

Окружность проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$ и через его точку пересечения биссектрис $I$, причём прямая $AI$ касается этой окружности. Пусть $X$ и $Y$ — точки пересечения сторон $AB$ и $BC$ соответственно с этой окружностью, а $Z$ есть точка пересечения стороны $AC$ с прямой $IY$. Найдите $BY$, если $XI=3{,}5$; $AZ=5$.

Про натуральные числа $n$, $m$, $k$ и $l$ известно, что $mn=kl=350$. Оказалось, что точки с координатами $(m,n)$ и $(k,l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.

На декартовой плоскости имеется прямоугольный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;6)$, $(10;0)$, $(10;6)$ и шар в точке $(2;3)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)