Олимпиада «Физтех»

Углы $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют равенствам \[ \sin(2\alpha+2\beta)=-\frac1{\sqrt5};\quad \sin(2\alpha+4\beta)+\sin 2\alpha=-\frac45. \] Найдите все возможные значения $\operatorname{tg}\alpha$, если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x-2y=\sqrt{xy-x-2y+2},\\ x^2+9y^2-4x-18y=12. \end{cases} \]

Решите неравенство \[ 5^{\log_{12}\left(x^2+18x\right)}+x^2\geqslant\left|x^2+18x\right|^{\log_{12}13}-18x. \]

Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ — диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно $BC$, повторно пересекает $\Omega$ в точке $F$. Найдите радиусы окружностей, угол $AFE$ и площадь треугольника $AEF$, если известно, что $CD=8$, $BD=17$.

Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/4]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 24$, $1\leqslant y\leqslant 24$ и $f(x/y)\lt 0$.

Найдите все пары чисел $(a;b)$ такие, что неравенство \[ \frac{12x+11}{4x+3}\leqslant ax+b\leqslant -8x^2-30x-17 \] выполнено для всех $x$ на промежутке $\left[-\frac{11}{4};-\frac34\right)$.

Дана пирамида $ABCD$, вершина $A$ которой лежит на одной сфере с серединами её рёбер, кроме ребра $AD$. Известно, что $AB=1$, $BD=2$, $CD=3$. Найдите длину ребра $BC$. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?