Олимпиада «Физтех»

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x-\sqrt[3]{y^2-16x^2}=44,\\ y-\sqrt[3]{y^2-16x^2}=-20. \end{cases} \]

Решите неравенство \[ \sqrt{\log_{3x}x^4}\leqslant\log_{9x}\frac1{x^2}. \]

Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12345.

Даны равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD$ и $BC$ — основания, $AD\gt BC$) и окружность $\omega$ с центром $C$, касающаяся стороны $AD$. Касательные к $\omega$, проведённые из точки $B$, пересекают прямую $AD$ в точках $P$ и $Q$ (точка $P$ лежит между $Q$ и $D$). На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ выбрана точка $N$ так, что $\angle CPN$ — прямой. Найдите углы $ADC$, $NQC$ и площадь четырёхугольника $NCDQ$, если известно, что $\angle NCP=\operatorname{arctg}\frac{12}{5}$, $AP=\frac{13}{2}$, $NC=13$.

Дана система уравнений \[ \begin{cases} \sin(x+y)=9\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right),\\ \cos(x+2y)-\sqrt3\sin(x+2y)=-16\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right). \end{cases} \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y$, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух.

Найдите все пары чисел $(a;b)$ такие, что неравенство \[ \sqrt{\frac{275}{4}+25x-x^2}\leqslant ax+b\leqslant -\frac{x^2}{3}+\frac{5x}{3}+\frac{45}{4} \] выполнено для всех $x$ на промежутке $\left[-\frac52;\frac72\right]$.

Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, грани $ABCD$ и $CDD_1C_1$ которого являются прямоугольниками. Сфера $S$ касается прямых $B_1C_1$ и $C_1D_1$, плоскости $CDD_1$, а также плоскости $ABC$ в точке $A$. Эта сфера повторно пересекает отрезок $AC_1$ в точке $M$. Найдите $\angle BB_1C_1$ и объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AM=5$, $C_1M=3$.