Олимпиада «Физтех»

Найдите все действительные значения $x$, при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её седьмой член равен $\sqrt{(25x-9)(x-6)}$, девятый член равен $x+3$, а пятнадцатый член равен $\sqrt{\dfrac{25x-9}{(x-6)^3}}$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sqrt{x+5}-\sqrt{1-x-4z}+4=2\sqrt{y-4x-x^2+z},\\ |y+4|+4|y-5|=\sqrt{81-z^2}. \end{cases} \]

Найдите все значения параметра $p$, при которых уравнение \[ p\cos 3x+3(p+4)\cos x=6\cos 2x+10 \] имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких $p$.

Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, а их общая касательная имеет с $\omega_1$ и $\omega_2$ общие точки $C$ и $D$ соответственно, причём точка $B$ расположена ближе к прямой $CD$, чем точка $A$. Луч $CB$ пересекает $\omega_2$ в точках $B$ и $E$. Найдите отношение $ED:CD$, если диагональ $AD$ четырёхугольника $ACDE$ делит отрезок $CE$ в отношении $2:5$, считая от вершины $C$.

Дан клетчатый прямоугольник $100\times 400$. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух «средних линий» прямоугольника («средней линией» прямоугольника назовём отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон). Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).

Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$ такие, что:

• $a\lt b$,
• число $b-a$ не кратно 3,
• число $(a-c)(b-c)$ является квадратом некоторого простого числа,
• выполняется равенство $a^2+b=710$.

В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.