Олимпиада «Физтех»
9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г.
20 задач
Задача 1
Ответ:
Решение:
Задача 2
Задача 4
Трое ребят принялись красить лист ватмана, каждый в свой цвет. Один закрасил красным $75\%$ листа, второй закрасил зелёным $70\%$ листа, а третий закрасил синим $65\%$ листа. Сколько процентов листа будет заведомо закрашено всеми тремя цветами?
Ответ:
Решение:
Задача 5
Прогулочный теплоход вышел в 10:00 вниз по течению реки из пункта $A$ в пункт $B$. Прибыв в пункт $B$, он там простоял три часа и отправился обратно в пункт $A$, прибыв туда в 22:00. Найдите собственную скорость теплохода (в км/ч), если скорость течения равна $1{,}5$ км/ч, а расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $32{,}4$ км.
Ответ:
Решение:
Задача 6
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $\dfrac{x_1}{x_2^2}$ и $\dfrac{x_2}{x_1^2}$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение:
Задача 7
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 4; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 3
Найдите количество целых значений параметра $p$, при которых график функции \[ y=x^2+px+p^2+2p-3 \] пересекает ось $X$ в точках с абсциссами разных знаков.
Ответ:
Решение:
Задача 8
Заряда аккумулятора мобильного телефона Маши хватает на $8$ часов разговора или на $48$ часов в режиме ожидания. Когда Маша села в поезд, аккумулятор был заряжен, а когда Маша вышла из поезда, телефон полностью разрядился. Сколько часов длилась поездка, если известно, что Маша говорила по телефону $20\%$ этого времени?
Ответ:
Решение:
Задача 9
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 4
Два лыжника идут друг за другом с постоянной скоростью $6$ км/ч, расстояние между ними равно $200$ м. Лыжники поднялись на гору, спустились с неё и попали в рыхлый снег, где их скорость стала равна $3$ км/ч. Какое расстояние (в метрах) теперь будет между ними?
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 5
Даны положительные рациональные числа $a$, $b$ и $c$. Известно, что число $b$ больше числа $a$ на $k$, а число $c$ больше числа $b$ на $69$; при этом число $b$ больше числа $a$ на $69\%$, а число $c$ больше числа $b$ на $k\%$. Чему равно $c$?
Ответ:
Решение:
Задача 11
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 6
Задача 12
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 7; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 5
Сколько пар натуральных чисел $(x,y)$ удовлетворяют равенству \[ \text{НОД}(x,y)+\text{НОК}(x,y)=2011\ ? \]
Ответ:
Решение:
Задача 13
На Новый год Дед Мороз раздавал конфеты в детском саду. На праздник пришли $28$ мальчиков и $35$ девочек. Каждый мальчик получил одинаковое количество конфет, и каждая девочка получила одинаковое количество конфет. Оказалось, что существует единственный способ раздать конфеты подобным образом. Какое максимальное количество конфет могло быть у Деда Мороза?
Ответ:
Решение:
Задача 14
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 6
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB\gt AC$ и $\angle A=40^\circ$. На стороне $AB$ взяли точку $D$ так, что $BD=AC$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $N$ — середина отрезка $AD$. Найдите угол $BNM$.
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 8
Отрезок $BD$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$. Окружность радиуса $4$ проходит через точки $A$, $B$ и $D$ и пересекает сторону $BC$ в точке $E$ такой, что $BE:BC=7:8$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Задача 16
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 10
Вершины $1000$-угольника последовательно занумеровали числами от $1$ до $1000$ и принялись закрашивать каждую $15$-ю вершину: сначала первую, потом $16$-ю, потом $31$-ю и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока можно закрашивать новые вершины. Сколько вершин останутся в итоге незакрашенными?
Ответ:
Решение:
Задача 17
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 11; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 8
В озере плавает груша массой $500$ г, причём $1/5$ часть её находится над водой. Сверху грушу принимается клевать воробей со скоростью $120$ г/мин, а снизу её одновременно начинает поедать карась со скоростью $180$ г/мин. В итоге они съедают всю грушу. Сколько грамм груши съест карась?
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 15; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 15
В большую коробку положили $10$ коробок поменьше. В некоторые из них положили $10$ коробок ещё поменьше. В некоторые из этих последних коробок положили $10$ коробок ещё меньшего размера и так далее. В результате оказалось, что имеется ровно $2000$ коробок, в которых что-то лежит. Какое наибольшее число коробок могут при этом быть пустыми?
Ответ:
Решение:
Задача 19
также:
Физтех, 10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 16; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 16
Имеется желоб, по которому в обе стороны могут кататься одинаковые шарики с фиксированной скоростью. Если два шарика соударяются, каждый из них меняет направление своего движения на противоположное. С одного конца желоба двигаются пять шариков на равных расстояниях друг от друга, с другого конца — семь шариков (тоже на равных расстояниях друг от друга). Сколько всего будет соударений?
Ответ:
Решение:
Задача 20
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 17
Боковая сторона $AB$ трапеции $ABCD$ равна $10$, а меньшее основание $BC$ равно $5$. Биссектриса угла $A$ перпендикулярна отрезку $CD$, пересекает его в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $C$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $EF=4$.
Ответ:
Решение: