Олимпиада «Физтех»

Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-ax-3$, $f_2(x)=x^2+2x-b$, $f_3(x)=3x^2+(2-2a)x-6-b$ и $f_4(x)=3x^2+(4-a)x-3-2b$. Пусть разности корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что $|C|\ne|D|$. Найдите отношение $\frac{A^2-B^2}{C^2-D^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 3x-y-3xy=-1,\\ 9x^2y^2+9x^2+y^2-6xy=13. \end{cases} \]

В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) вписана окружность $\Gamma$ с центром $I$, которая касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $I$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите радиус окружности $\Gamma$, если $MK=144$, $NL=25$. Найдите $AC$, если дополнительно известно, что прямая $MN$ параллельна $AC$.

На столе лежат 100 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 297, 300$ (на каждой карточке ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 5?

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$, $AD\gt BC$). Окружность $\Omega$ вписана в угол $BAD$, касается отрезка $BC$ в точке $C$ и повторно пересекает $CD$ в точке $E$, так что $CE=9$, $ED=16$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции $ABCD$.

При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства $(x+2)\sqrt{ax+x-x^2-a}\geqslant0$ найдутся два решения, разность между которыми равна 4?

На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |y|+|4+y|\leqslant4,\\ \dfrac{x-y^2-4y-3}{2y-x+3}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.