Олимпиада «Физтех»

Вася строит башни из кубиков. Когда он построил $N$ башен по 22 кубика, у него осталось 3 кубика. После чего он из всех своих кубиков построил $N-1$ башню так, что во всех башнях кубиков оказалось поровну. Какое наибольшее количество кубиков могло быть у Васи, если известно, что их меньше 300?

Решите неравенство \[ \left|x^2+7x+12\right|+\left|x^2+2x-8\right|\leqslant|5x+20|. \]

Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие уравнению \[ x^2+3x+3=6^y. \]

Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) описана окружность $\Omega$. Прямая, содержащая биссектрису $AD$ треугольника $ABC$, пересекает повторно $\Omega$ в точке $E$. Найдите периметр четырёхугольника $ABEC$, если известно что площади треугольников $BED$ и $CED$ равны 5 и 6 соответственно.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых существует значение параметра $b$ такое, что уравнение \[ 5x^2+(2a+9)x+7a-10b=0 \] имеет два корня $x_1$ и $x_2$ таких, что $5\leqslant x_1\leqslant10$ и $14\leqslant x_2\leqslant15$.

Кузнечик прыгает по целочисленным узлам координатной сетки. За один шаг он может либо переместиться на одну клетку вверх или вправо, если при этом он попадает в точку, в которой не был раньше; либо вернуться на один шаг назад по уже пройденному пути — соответственно, вниз или влево. Сколько существует различных путей с началом в точке $O(0;0)$ и концом в точке $A(3;5)$ таких, что в точку $A$ кузнечик попадает не более чем за 10 шагов? (Достигая точки $A$, кузнечик останавливается.)

Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=7{,}5$, $XY=15$.