Олимпиада «Физтех»

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $ab$ делится на $3^{11}7^{11}$, $bc$ делится на $3^{18}7^{16}$, $ac$ делится на $3^{21}7^{38}$. Найдите наименьшее возможное значение произведения $abc$.

Известно, что дробь $\dfrac{a}{b}$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[ \dfrac{a+b}{a^2-8ab+b^2}. \] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?

Решите уравнение \[ \sqrt{2x^2-3x+4}-\sqrt{2x^2+x+3}=1-4x. \]

Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, диаметр $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC=1$ и $BC=16$. Найдите длину общей касательной к окружностям $\omega$ и $\Omega$.

Ненулевые действительные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенствам \[ 3x+2y=z\quad\text{и}\quad\dfrac3x+\dfrac1y=\dfrac2z. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{3x^2-4y^2-z^2}{x^2-6y^2}$.

Из пункта $A$ в пункт $B$ выезжают одновременно велосипедист и мотоциклист. Оба они движутся с постоянной скоростью, и мотоциклист прибывает в пункт $B$ на 2 часа раньше велосипедиста. Если бы велосипедист ехал со своей скоростью в течение того времени, что понадобилось мотоциклисту на дорогу от $A$ к $B$, а мотоциклист — в течение того времени, что понадобилось велосипедисту на этот путь, то мотоциклист проехал бы на 96 километров больше. Если бы скорость каждого из них возросла на 6 км/ч, то велосипедист приехал бы в $B$ на 1 час 15 минут позже мотоциклиста. Найдите расстояние между $A$ и $B$.

Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $B$ касается его сторон $CA$, $AB$, $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Луч $ED$ пересекает прямую, перпендикулярную $BC$, проходящую через вершину $C$, в точке $Y$; $X$ — вторая точка пересечения прямой $FY$ с окружностью $\omega$. Известно, что $EX=2\sqrt2XY$. Найдите отношение $AD:DC$.