Олимпиада «Ломоносов»

Пусть $f(x)=x^2+10x+20$. Решите уравнение \[ f\bigl(f\bigl(f\bigl(f(f(x))\bigr)\bigr)\bigr)=0. \]

Число $x=2^1+2^0+2^{-1}+2^{-2}+\ldots+2^{-2021}$. Найдите значение выражения \[ \sqrt{2x+4\sqrt{2x-4}}+\sqrt{2x-4\sqrt{2x-4}}. \]

Сколько существует различных многочленов вида $P(x)=x^5+Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$, где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — целые положительные числа, для которых $P(-1)=11$, $P(1)=21$?

Велосипедист и мотоциклист едут с постоянными скоростями по имеющей форму окружности кольцевой трассе. Если они едут навстречу друг другу, то регулярно встречаются, причём расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) встреч равно $4022$ м. Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста, причём расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) обгонов также равно $4022$ м. Если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые $32$ минуты. Если же, наоборот, отдыхает мотоциклист, то велосипедист проезжает мимо него реже, чем каждые $55$ минут, но чаще, чем каждые $64$ минуты. Найдите радиус окружности, по которой проходит трасса.

На вертикальной плоскости, изображающей стену, нарисована горизонтальная прямая, изображающая пол. На полу стоит свежеокрашенный квадрат со стороной $1$. Его кантуют (поворачивают на $90^\circ$, опираясь на одну из вершин). И так — четыре раза, пока он не будет стоять на той же стороне, что и вначале. При этом квадрат всё время касался стены, так что часть её оказалась окрашенной (или испачканной). Аналогичную процедуру проделали на другой стене, но квадрат был с диагональю длины $1$, а прокантовали его $7$ раз. На сколько меньшую площадь удалось окрасить (испачкать) во втором случае?

В неправильной пирамиде $ABCD$ суммы плоских углов при вершинах $A$ и $B$ одинаковы, суммы плоских углов при вершинах $C$ и $D$ тоже одинаковы, а сумма площадей граней $ABD$ и $ACD$ равна $S$. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

На столе лежат $2021$ красных и $2022$ зелёных камня. Аня и Петя делают ходы по очереди. Аня ходит первой. При каждом ходе игрок выбирает цвет и удаляет $n$ камней этого цвета, где число $n$ должно быть делителем текущего числа камней другого цвета. Кто возьмёт последний камень, тот выиграет. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от ходов соперника?