Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В одной социальной сети шло голосование: какая из трёх кукол, представленных на конкурсе юных мастеров, самая выразительная. К утру голоса распределились так:

К вечеру голосов прибавилось, но все новые голоса были за Эсмеральду. В результате у Глаши осталось только 27 % голосов. Сколько процентов голосов вечером стало у Маши?

Найдите медиану набора масс:
340 г; 3 кг 250 г; 0,003 т; 0,03 т; 35 кг; 3340 г; 3 кг 400 г.

В классе не больше 35 человек, и среди них есть те, кого зовут Петя. Вероятность того, что случайно выбранный ученик выше всех Петь, равна $\frac{1}{6}$, а вероятность того, что случайно выбранный ученик ниже всех Петь, равна $\frac{3}{5}$. Какое наибольшее количество Петь может быть в классе?

Имеется резинка и стеклянные шарики-бусины: шесть одинаковых красных, две одинаковых синих и четыре одинаковых зелёных. Нужно все двенадцать бусин нанизать на резинку последовательно, чтобы получился браслет. Сколько различных браслетов можно составить так, чтобы бусины одного цвета не оказались рядом? (Считайте, что застёжки нет, а узелок на резинке незаметен).

Семиклассник Сергеев часто опаздывает в школу. До конца четверти осталось десять учебных дней. Какое из следующих событий наименее вероятно?

• $A$ = {За эти 10 дней Сергеев опоздает от семи до девяти раз}
• $B$ = {За эти 10 дней Сергеев не опоздает меньше четырёх раз}
• $C$ = {За эти 10 дней Сергеев опоздает не меньше пяти раз}
• $D$ = {За эти 10 дней Сергеев опоздает больше пяти раз}

Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число $A$ из отрезка $[1;2]$ и заставляет программу решать уравнение $6x+A=0$. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения больше, чем $-0{,}25$.

В классе у Марии Ивановны прошёл ежегодный тест по английскому языку. Оказалось, что в обеих группах А и Б средний балл понизился по сравнению с прошлым годом (см. таблицу).

№	Группа А	Балл	№	Группа Б	Балл
1	Антропов	35	1	Аладьева	51
2	Белобородов	62	2	Воронов	38
3	Глядешина	55	3	Гусев	34
4	Долматов	57	4	Елина	43
5	Жарова	35	5	Зорич	50
6	Ильин	54	6	Касаткина	38
7	Лопатин	47	7	Моисеев	52
8	Ноготкова	49	8	Облакова	38
9	Суздальский	34	9	Рысьев	35
10	Филин	44	10	Фофанов	39
	Среднее	47,2		Среднее	41,8
	Прошлый год	47,5		Прошлый год	42,2

Мария Ивановна должна писать отчёт, но знает, что директор школы будет недоволен, поскольку считает, что средний балл должен каждый год расти. Баллы менять нельзя, но Мария Ивановна может переводить учеников из одной группы в другую. Может ли она сделать так, что средний балл в каждой группе окажется выше, чем в прошлом году? Если нет — объясните, почему. Если да — покажите, как должна поступить Мария Ивановна.

В торговом центре три автомата продают кофе. В течение дня первый автомат ломается с вероятностью 0,3, второй — с вероятностью 0,2. Каждый вечер приходит инженер Петров и чинит все сломанные автоматы. Однажды Петров написал в отчёте, что математическое ожидание поломок в неделю равно 3,3. Докажите, что Петров преуменьшает.

Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный попадает в первую корзину с вероятностью $p$ (где $p\lt 0{,}5$), и с такой же вероятностью он попадает во вторую. За утро Учёный бросил под стол шесть скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной из утренних идей.