Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В школе 6-й класс участвовал в олимпиаде по теории вероятностей и статистике. Результаты приведены на диаграмме: столбики показывают, сколько участников набрало 0 баллов, сколько — 1 балл и т. д. По оплошности на диаграмме не оказалось подписей на вертикальной оси. Найдите среднее число баллов, полученных участниками.

Руководство компании пригласило на празднование Нового Года шесть иностранных гостей. Их нужно рассадить за двухместные столики так, чтобы сидящие за одним столиком могли разговаривать на языке, известном обоим. По-французски говорят Арман, Вивьен и Жером, по-английски — Базилио, Гарри и Жером, по-испански — Базилио, Вивьен и Дамиан. Других языков никто из них не знает. Как рассадить этих шестерых? Придумайте хотя бы один способ.

Сергей на спор заявил, что выбросит на двух игральных костях в сумме ровно 9 очков не более чем за три попытки (имеется в виду сумма очков на двух костях в одной из попыток). Найдите вероятность того, что ему удастся это сделать.

В двух коробках лежали конфеты белого и тёмного шоколада одинаковой формы, причём вероятность достать наудачу белую конфету из первой коробки была равна $\frac{4}{7}$, а из второй — $\frac{3}{5}$. Все конфеты ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка достают одну случайную конфету. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.

Неправдоподобная легенда гласит, что у Якоба Бернулли была монета, про которую он говорил: «Я совершенно точно знаю, что при десяти бросках этой удивительной монеты вероятность выбросить 6 орлов ровно такая же, как вероятность выбросить 7 орлов». Более того, легенда утверждает, что монета сохранилась и что недавно британские учёные исследовали её и установили, что Бернулли был абсолютно прав. Найдите вероятность выбросить орла при одном бросании этой монеты.

Максим построил новый загон для своего любимого барана, соединив семь секций ограды в форме правильного семиугольника. Дочь Максима Надя покрасила загон во все цвета радуги: каждую секцию в свой цвет. Каждое утро баран с разбегу ломает лбом две случайные соседние секции ограды. Максим чинит обе секции, а на следующий день всё повторяется. Найдите вероятность того, что за неделю такой жизни Максиму ни разу не придётся чинить красную секцию забора.

Рассеянный Учёный пошёл на рыбалку. На своём заветном месте он забросил две свои удочки и стал ждать поклёвки. Учёный давно и совершенно точно подсчитал, что на первой удочке от заброса до поклёвки в среднем проходит две минуты, а на второй — три минуты, при этом время ожидания не зависит ни от каких предыдущих событий. Найдите математическое ожидание случайной величины «время ожидания первой поклёвки».

Числовой набор удовлетворяет следующим четырём условиям:

• количество чисел в наборе нечётное;
• наибольшее значение равно 13;
• медиана набора равна 2;
• среднее арифметическое чисел набора равно 7.

а) Может ли в таком наборе быть ровно 9 чисел?
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?

А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть выше, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:

• А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
• Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.

Получит ли кто-нибудь преимущество от такого изменения правил?