Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

Одну игральную кость бросают три раза. Какое событие более вероятно: $A$ «какое-то число очков выпадет хотя бы два раза» или $B$ «при трёх бросках выпадут три разных числа очков».

В конце года директор фирмы выписал техническому отделу крупную премию. Начальник отдела хочет распределить премию между всеми десятью сотрудниками так, чтобы средний доход сотрудников отдела в декабре (с учётом и заработной платы, премии) оказался наибольшим. Начальник думает, как ему поступить: 1. дать премию только двум самым малооплачиваемым сотрудникам. 2. дать премию только двум самым высокооплачиваемым сотрудникам. 3. разделить премию на всех поровну. 4. забрать всю премию себе. 5. поступить как-то иначе (как?)
Если вы выбрали какой-то вариант, обоснуйте, почему именно этот вариант даст наибольший средний доход сотрудников отдела.

На часах две стрелки: часовая и минутная. В случайный момент времени часы остановились. Найдите вероятность того, что угол между стрелками на остановившихся часах острый.

В почтовом отделении курьер отправляет 100 писем. Письма весом больше 100 г не принимаются. Стоимость отправки зависит от веса письма. Минимальная стоимость (письма весом до 20 г включительно) равна 22 руб., за каждые следующие полные или неполные 20 г добавляется еще 2 руб. 50 коп. (см. таблицу).
Почтовые тарифы на простые письма

Вес, г	Цена, р
до 20	22,00
от 21 до 40	24,50
от 41 до 60	27,00
от 61 до 80	29,50
от 81 до 100	32,00

Первая операционистка на почте считает, что нужно взвесить по отдельности все 100 писем, найти стоимость отправки каждого по таблице, а потом все суммы сложить.
Вторая предлагает взвесить все письма сразу, найти средний вес письма, определить по таблице стоимость отправки и умножить результат на 100. Она говорит, что это даст ту же сумму, только быстрее. Права ли вторая операционистка?
Операционистка — служащая почтового отделения, выполняющая операции по отправке.

Гневные отзывы о работе интернет-магазина оставляют 80 % недовольных покупателей (тех, кого плохо обслужили в магазине). Из числа довольных покупателей положительный отзыв оставляют только 15 %. Некоторый интернет-магазин заработал 60 гневных и 20 положительных отзывов. Пользуясь этой статистикой, оцените вероятность того, что очередной покупатель останется доволен обслуживанием в этом интернет-магазине.

Из натуральных чисел от 1 до $n$ нужно выбрать $k$ различных $(k\lt n)$. Программист предлагает следующий алгоритм. 1. Все числа располагают по кругу (в вершинах $n$-угольника). 2. Первое число выбирается случайным образом. 3. Каждое следующее число выбирается независимо от предыдущих. Если оно совпало с каким-то из уже выбранных, следует двигаться по часовой стрелке до первого невыбранного числа.
В конце концов, получается $k$ различных чисел.
а) Верно ли, что появление каждого конкретного числа в такой выборке равновероятно?
б) Верно ли, что появление всех выборок равновероятно?

Географическое общество Анчурии (GSA) отправило экспедицию, цель которой — измерение протяжённости русла великой анчурийской реки Рио-Коралио. Оказалось, что протяжённость русла от истока до устья равна 402 км плюс-минус 500 м, при этом вероятность ошибки равна 0,04, причём ошибки в большую или меньшую сторону равновероятны.
Независимо от GSA агентство AWRA («Анчурийские водные ресурсы») провело своё исследование на эту тему. Результат: 403 км плюс-минус 500 м. Вероятность ошибки также равна 0,04, и, опять же, ошибки в большую и меньшую сторону равновероятны.
Когда результаты опросов сравнили и убедились, что ошибок в методах и в измерениях нет, президент GSA и директор AWRA совместно обратились к Рассеянному Учёному, который является признанным экспертом в области статистики, чтобы он объяснил расхождение. Учёный обрадовался и сказал: «Теперь я точно знаю протяженность Рио-Коралио с малой вероятностью ошибки». Как он мог рассуждать? Найдите оценку и вероятность ошибки.

Стоимость проезда по участку платной автодороги зависит от класса автомобиля: легковые автомобили относятся к первому классу, для них стоимость проезда 200 рублей, а лёгкие грузовые и микроавтобусы — ко второму, для них стоимость 300 рублей.
При въезде на пункт оплаты установлена автоматическая система, измеряющая высоту автомобиля. Если высота машины меньше некоторого порогового значения $h$, то система автоматически относит его к классу 1, а если выше $h$, то к классу 2. При этом возможны ошибки. Например, низенький микроавтобус система может отнести к классу 1, и его водитель будет доволен. Легковой УАЗ может быть ошибочно отнесён к классу 2, и его водитель будет этому не рад. Он может подать заявку, и компания-оператор будет должна вернуть ему 100 рублей.
Руководство компании поставило перед инженерами задачу: настроить систему так, чтобы количество ошибок было наименьшим.
Несколько недель инженеры собирали данные о высоте автомобилей, проходящих через пункт оплаты. Отдельно — о машинах класса 1 и отдельно — о машинах класса 2 (см. рисунок). На оси абсцисс отложена высота автомобиля (в см), на оси ординат — среднее количество машин такой высоты, проходящих через пункт за сутки. Для наглядности точки соединены плавной линией.

Графики — количество машин класса 1 и класса 2 в сутки
Собрав всю эту информацию и начертив графики, инженеры стали думать, что делать дальше: как определить пороговое значение $h$, чтобы вероятность ошибки оказалась наименьшей возможной? Решите эту задачу для них.

Иван-Царевич учится стрелять из лука. Он положил в колчан 14 стрел и пошёл стрелять по шишкам в лес. Он сбивает шишку с вероятностью 0,1, и за каждую сбитую шишку Царевна-Лягушка дает ему ещё 3 стрелы. Стреляет Иван-Царевич до тех пор, пока стрелы у него не кончатся. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, которые сделает Иван-Царевич.

На плоскости 20 точек были попарно связаны между собой отрезками (рёбрами) — каждая точка с каждой другой. Затем случайным образом выбрали 35 рёбер и удалили их. Найдите вероятность того, что получившийся граф связен (то есть из любой точки можно дойти до любой другой по рёбрам).
Такую конструкцию, состоящую из точек и отрезков (прямых или кривых линий), связывающих некоторые из точек, в математике называют графом. Точки называют вершинами, а отрезки — рёбрами графа.

Шоссе Долгое пересекается с улицей Узкой и с улицей Тихой (см. рис.). На обоих перекрёстках стоят светофоры. Первый светофор $x$ секунд разрешает движение по шоссе, а полминуты — по ул. Узкой. Второй светофор две минуты разрешает движение по шоссе, а $x$ секунд — по ул. Тихой. Светофоры работают независимо друг от друга. При каком значении $x$ вероятность проехать по Долгому шоссе оба перекрестка, не останавливаясь на светофорах, будет наибольшей? Чему равна эта наибольшая вероятность?

У кота Базилио и лисы Алиса не осталось ни сольдо. И тогда они нанялись ставить и убирать декорации в театре Карабаса-Барабаса. Каждый вечер после спектакля Карабас даёт им монету в один сольдо, и между котом и лисой немедленно начинается драка.
С вероятностью 0,25 побеждает кот и забирает монету себе, с вероятностью 0,25 побеждает лиса и забирает монету себе, а с вероятностью 0,5 обоих отводят в полицию и отбирают у них все деньги (не только сегодняшние, а вообще все). Вопрос: на сколько сольдо у одного из компаньонов окажется больше, чем у другого к концу 10-го дня подработки (модуль разности их состояний)? Найдите математическое ожидание этой величины.

На стол в ряд выложили 50 карточек, пронумерованных слева направо числами от 1 до 50. Снизу карточки синие, а сверху — красные. Вася выбирает случайным образом 25 карточек, лежащих подряд (фрагмент ряда), и переворачивает их. Затем к столу подходит Ася и делает то же самое — выбирает случайный фрагмент из 25 карточек, лежащих подряд, и переворачивает их, независимо от того, что делал раньше Вася. У какой карточки (или карточек) вероятность оказаться красной стороной вверх после всех переворачиваний меньше, чем у других?

Дни в Анчурии бывают ясные и дождливые, причём вероятность ясного дня равна 0,74 независимо от времени года. В парламенте Анчурии есть комитет по климату и прогнозам, где работают два сенатора и один приглашённый синоптик. Известно, что доля верных прогнозов ясных дней у каждого из трёх такая же, как и доля верных прогнозов дождливых. Но у синоптика эта доля на 50 % выше, чем у каждого из сенаторов.
Однажды все трое независимо друг от друга сделали прогноз на приближающийся День Великого Народного Ликования. Оба сенатора заявили, что этот день будет ясный, а синоптик предсказал дождь. На какой прогноз лучше полагаться?

Правильную игральную кость бросают до тех пор, пока сумма последовательно выпадающих очков не достигнет числа 2019 (станет равна 2019 или больше). Докажите, что вероятность события «при последнем броске выпадет 6 очков» больше, чем $\frac{1}{6}$.
Утверждение задачи выглядит парадоксально — последний бросок ничем не хуже никакого из предыдущих и не зависит от них. Казалось бы, число 6 выпадает с вероятностью $\frac{1}{6}$ независимо от того, первый это бросок или последний.

В ящике $n$ белых и $n$ черных шаров. Шары достают из ящика по два шара за раз — случайными парами.
а) Найдите математическое ожидание числа разноцветных пар, извлечённых из ящика к моменту, когда ящик опустел.
б) Предположим, что если пара разноцветная, то её откладывают в сторону, а если одноцветная, то её возвращают в ящик. Такую операцию назовем попыткой. Найдите математическое ожидание числа попыток, нужных, чтобы все шары были отложены в сторону, и в ящике ничего не осталось.