Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В школе 6-й класс участвовал в олимпиаде по теории вероятностей и статистике. Результаты приведены на диаграмме: столбики показывают, сколько участников набрало 1 балл, сколько — 2 балла и т. д. По оплошности на диаграмме не оказалось подписей на вертикальной оси. Найдите среднее число баллов, полученных участниками.

Руководство компании пригласило на празднование Нового Года шесть иностранных гостей. Их нужно рассадить за круглым шестиместным столом так, чтобы любые двое, сидящие рядом, могли разговаривать на языке, известном обоим. По-французски говорят Арман, Вивьен и Жером, по-английски — Базилио, Гарри и Жером, по-испански — Базилио, Вивьен и Дамиан. Других языков никто из них не знает. Как рассадить этих шестерых? Придумайте хотя бы один способ.

Андрей на спор заявил, что выбросит на двух игральных костях в сумме ровно 5 очков не более чем за две попытки (имеется в виду сумма очков на двух костях в одной из попыток). Найдите вероятность того, что ему удастся это сделать.

В двух пакетиках лежали одинаковые по форме синие и жёлтые леденцы, причём вероятность достать наудачу синий леденец из первого пакетика была равна $\frac{2}{5}$, а из второго — $\frac{3}{8}$. Все леденцы ссыпали в одну коробку, хорошо перемешали и теперь из коробки достают один случайный леденец. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{5}{13}$».
Второй: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{7}{18}$».
Третий: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{17}{40}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.

Неправдоподобная легенда гласит, что у Исаака Ньютона была монета, про которую он писал: «Я определённо доказал, что при десяти бросках этой удивительной монеты вероятность выбросить 5 орлов в точности такая же, как вероятность выбросить 6 орлов». Более того, легенда утверждает, что монета сохранилась и что недавно британские учёные исследовали её и установили, что Ньютон был совершенно прав. Найдите вероятность выбросить орла при одном бросании этой монеты.

Максим построил новый загон для своего любимого барана, соединив семь секций ограды в форме правильного семиугольника. Дочь Максима Надя покрасила загон во все цвета радуги: каждую секцию в свой цвет. Каждое утро баран с разбегу ломает лбом две случайные соседние секции ограды. Максим чинит обе секции, а на следующий день всё повторяется. Найдите вероятность того, что за неделю такой жизни Максиму придётся чинить синюю секцию каждый день — семь раз.

Рассеянный Учёный пошёл на рыбалку. На своём заветном месте он забросил две свои удочки и стал ждать поклёвки. Учёный давно и совершенно точно подсчитал, что на первой удочке от заброса до поклёвки в среднем проходит одна минута, а на второй — пять минут, при этом время ожидания не зависит ни от каких предыдущих событий. Найдите математическое ожидание случайной величины «время ожидания первой поклёвки».

Числовой набор удовлетворяет следующим четырём условиям:

• количество чисел в наборе нечётное;
• наименьшее значение равно 1;
• медиана набора равна 10;
• среднее арифметическое чисел набора равно 6.

а) Может ли в таком наборе быть ровно 7 чисел?
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?

А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть ниже, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:

• А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
• Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.

Получит ли кто-нибудь преимущество от такого изменения правил?